Intégrité des anneaux factoriels

Unique à l'ordre des facteurs près, et à des inversibles près ! Mais là une question se pose : est-ce qu'on demande qu'en ayant fixé les irréductibles, l'inversible soit unique ? (il est important de voir ce qu'on entend par unique)
En effet :
Si on veut montrer qu'un tel anneau est intègre on peut se ramener à $ab=0$ avec $a$ irréductible, $b$ non nul.
Dans une telle situation, $a=a+ab = a(1+b)$, et donc là puisque $a$ est irréductible, selon le choix qu'on a fait pour "décomposition unique", on obtient soit $b=0$, soit simplement "$1+b$ inversible", et dans ce second cas il faut chercher plus loin

Donc peux-tu préciser ce que tu entends par "unique" pour la décomposition ?

Comment tu obtiens "si et seulement si" ? Enfin comment déduis-tu $J(A)=0$ de "$A$ est intègre" ? (L'autre sens je vois bien)

La bonne définition pour le cas non intègre est la notion d'élément indivisible.

Si $A$ est un anneau commutatif (non trivial), un élément $\pi$ est indivisible s'il est non nul, non inversible et pour tous $a,b\in A$ tels que $\pi=ab$, on a $\pi\mid a$ ou $\pi\mid b$.

On démontre (comme dans le cas intègre) que dans un anneau noethérien, tout élément s'écrit comme produit d'un élément inversible et d'éléments indivisibles. Comme dans le cas intègre, il n'y a aucune raison que la décomposition soit unique.


Si $A$ est intègre, on montre qu'un élément est indivisible si et seulement s'il est irréductible. Dans le cas général, un élément premier est indivisible, mais il peut exister des anneaux possédant des éléments indivisibles non premiers, et non irréductibles (exemple: $A=\mathbb{F}_2[X,Y,Z](X^2-Y^2,X(Z-1),Y(Z-1))$; la classe de $X$ est indivisible, non premier, non irréductible).

Mel.