L'ensemble Hom(G,G')

Il est bien rare que l'on étudie un groupe pour deux lois différentes simultanément. (Tu as un exemple en tête ?) Quand on dit « Soit $G$ un groupe », la loi est sous-entendue, tellement évidente qu'on l'omet des notations. Et donc, quand on écrit $\mathrm{Hom}(G,G')$, il est sous-entendu qu'une loi a été choisie sur chaque groupe.

Les situations que j'ai en tête où il peut y avoir confusion relèvent plutôt de structures « emboîtées ». De façon impropre : groupe $\subset$ anneau $\subset$ corps, ou bien anneau $\subset$ algèbre, ou encore espace-vectoriel $\subset$ algèbre.
Par exemple, $\mathrm{Hom}(\Z,\Z/n\Z)$ peut aussi bien désigner les morphismes de groupes ou les morphismes d'anneaux (il faut s'entendre sur ce que l'on étudie pour lever l'ambiguïté) ; lorsque $K$ est un sous-corps de $L$ et que $V$ et $W$ sont des espaces vectoriels sur $L$, on peut s'intéresser aux morphismes de $L$-espaces vectoriels ou de $K$-espace vectoriels (on notera sans doute $\mathrm{Hom}_L(V,W)$ dans un cas et $\mathrm{Hom}_K(V,W)$ dans l'autre) ; etc.