Solution dans $\mathbb N$ ? $(3+4i)^n=5^{n}$

petit-o: je ne trouve pas qu'elle soit particulièrement plus conceptuelle, je trouve qu'elle utilise des outils qui ne sont pas adaptés: pourquoi se compliquer la vie à décomposer $5$ et $3+4i$ en facteurs premiers, alors qu'il est évident que $5$ ne divise pas $3+4i$ ?

@ Soland

Soland a écrit:

Ce serait bô d'avoir une preuve formelle de

Pour $a$, $b$, $n$ entiers strictement positifs tels que $PGDC(a,b)=1$, $(a+bi)^n$ n'est pas réel.

Contre-exemple : $(1+i)^4=-4$.

(Penser la chose géométriquement aide ... écrire la forme exponentielle de $1+i$ et comprendre ce qui ce passe).

@ soland

Je n'ai pas trop le temps de rentrer dans les détails, mais voici une bribe de raisonnement qui peut peut-être aider par rapport au problème que tu as posé.

On se place dans l'anneau euclidien $\mathbb Z [ i ]$.
Soient $a,b \in\mathbb Z^*$ et $n\in\mathbb N^*$ tels que le nombre $c:=(a+ib)^n$ soit dans $\mathbb Z$.
Soit $p+iq$ un diviseur premier de $c$.
Le raisonnement qui suit vise à établir que nécessairement $p$ et $q$ sont dans $\{-1;1\}$.

Comme $p+iq$ est un diviseur premier de $c$, le nombre $p-iq$ est alors aussi un diviseur premier de $c$.
Donc $p+iq$ et $p-iq$ divisent $a+ib$.

1er cas : $p+iq$ et $p-iq$ ne sont pas associés.
On en déduit que $(p+iq)(p-iq)=p^2+q^2$ divise $a+ib$.
Donc $p^2+q^2$ divisent $a$ et $b$, donc leur pgcd $1$.
Donc $p^2+q^2=1$.
Donc $p+iq$ est dans $\{\pm 1, \pm i\}$, donc est inversible : il n'est pas premier, absurde.

2è cas : $p+iq$ et $p-iq$ sont associés.
Il existe donc $u\in \{\pm 1, \pm i\}$ tels que $p-iq=u(p+iq)$.
Si $u=1$, alors $q=0$ puis $p$ divise $a+ib$, donc $a$ et $b$, ce qui contredit que le pgcd de $a$ et $b$ vaut $1$.
S $u=-1$, c'est du même style.
Si $u=i$, alors $p=-q$. Or le pgcd de $p$ et $q$ vaut $1$, donc $p,q\in\{\pm 1\}$.
Si $u=-i$, c'est du même style.

En espérant ne pas avoir raconté trop de bêtises ...

@ Nounouvch :

Non, je ne pense pas que $\mathbb Z [ i ]$ soit au programme des classes prépa.
Ceci étant, il y a en math sup bel et bien de l'arithmétique, au moins dans $\mathbb Z$ et dans $\mathbb R[X]$.
Mais je ne suis pas le plus apte à te répondre.

Aussi, mon conseil : si tu es en prépa (ou va l'être), entraîne toi à la version $a_n+ib_n$, très formative car il faut prendre des initiatives et savoir manipuler les congruences.

J'ai qualifié la preuve que j'ai donnée dans $\mathbb Z [ i ]$ de "plus conceptuelle" car elle n'est pas plus difficile que de s'interroger sur $6^n=10^n$, une fois fait le parallèle (là est la conceptualisation) avec ton énoncé initial. Mais bien évidemment qu'elle est plus dure à digérer, car il y a tout un préalable à connaître : essentiellement le fait que $\mathbb Z [ i ]$ est un "anneau euclidien" tout comme $\mathbb Z$, $\mathbb R[X]$, etc., de sorte qu'on dispose de puissant outils du type le théorème de décomposition en facteurs premiers, Gauss, Bezout, ...

Bonjour,
Edit : Soit $A$ l’ensemble des matrices $2 \times 2$ de la forme :
$\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix} \\$.
Avant de parler de congruences @Nounouvch, que penses-tu de l’application:

$\begin{array}{ccccc}
& \mathbb{R}^2 & \to & A \subset \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \\
& (a,b) & \mapsto & \begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix} \\
\end{array}$ ?

À ma gauche, $\R^2$ est de dimension $2$ ; à ma droite, $\mathcal{M}_2(\R)$ est de dimension $4$. Os.

Oui , bien vu @Math Coss, c’est bien entendu l’ensemble des matrices $2 \times 2$ de la forme donnée.

Eh bien dire que $(3+4i)^n=5^n$ , c’est aussi dire que deux matrices sont égales, lesquelles?

Dans ce cas, il faudrait le recopier correctement (et puis il vaut mieux écrire des choses sensées).
Mainenant tu peux retourner à tes congruences et tu comprendras la solution astucieuse de @Foys.
Bonne soirée.

@petit-o, Foys et alias.
J'ai lu avec intérêt.