Im(u)=ker(u)

Tu veux un exemple d'endomorphisme $u$ de $\R^2$ pour lequel $\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Ker}(u)$.

Quelle est nécessairement la dimension de cet espace ($\mathrm{Im}(u)$, ou bien $\mathrm{Ker}(u)$) ?
Disons que cet espace est engendré par $e_1=(1,0)$. Que vaut $u(e_1)$ ? De plus, $e_1$ est l'image d'un vecteur : disons que c'est $e_2=(0,1)$ ; que vaut $u(e_2)$ ? Eh, mais si tu connais $u(e_1)$ et $u(e_2)$, tu connais $u$ ! (Quelle est sa matrice dans la base $(e_1,e_2)$, tiens ?)