Espace vectoriel de polynômes

As-tu vu en cours une construction de $\mathbb K[X]$ ? Si oui, cela découle juste du fait que l'on s'est servi de suites à valeurs dans $\mathbb K$ pour construire cet espace vectoriel. Plus précisément, formellement $\mathbb K[X]$ est le sous-espace vectoriel de $\mathbb K^{\mathbb N}$ engendré par les suites de la forme $(0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$, qui prennent une seule valeur non nulle, ou plus formellement, pour chaque entier naturel $i$ les suites $(\delta_n^i)_n$ avec $\delta_k^i = 1$ si $k=i$ et $0$ sinon.

On appelle alors $1 = (1,0,0,\dots)$, $X=(0,1,0,0, \dots)$, $X^2 = (0,0,1,0,0,\dots)$ etc. On peut définir sur cet espace de suite une multiplication $\mathbb K$-bilinéaire telle que pour tout entiers $m,n$ on a $X^m \times X^n= X^{m+n}$.