Nombre de lois de composition internes

Meryem el
Meryem el
dans Algèbre
Soit E un ensemble fini de cardinal n € N*.
Combien existe-t-il de lois de composition interne associatives sur E ?

Réponses

  • Apollonius
    Apollonius
    Soit $*$ la loi de composition associative, on a pour tout $e \in E$, une application de $E$ dans $E$ qui est: $e(x)=e*x$. Les loi internes associatives sont donc en correspondance avec les applications indexées par $E$, la composition de la loi correspond à la composition des fonctions $(a\circ b)(x)=a*b*x$. Il y en aurait donc $n.n^n$ si je ne me trompe pas...?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Tu veux dire qu'il y a une bijection entre les lois internes associatives et les applications indexées par $E$ ? Je ne comprends pas où cette application t'a servi $e(x)=e*x$ ni comment tu as utilisé $(a\circ b)(x)=a*b*x$ pour déduire qu'il y a $n.n^n$ ?
  • Meryem el
    Meryem el
    Merci a vous mais on peut dire que le nombre des lois de compositions interne associative est le nombre des applications De $ E \times E $ dans $E$.
    Puisque le $ card(E \times E)= n^2 $ donc le nombre des lois =$ card(E^{E^2})= n^{n^2}$??
  • Amathoué
    Amathoué
    Te rends-tu compte que tu écris Tu sembles croire qu’une loi de composition interne est nécessairement associative...
  • Meryem el
    Meryem el
    Bien sur que non
  • Amathoué
    Amathoué
    Soient $A$ et $B$ deux ensembles tels que $A \subset B$ et $B$ fini.
    Si $A$ et $B$ sont de même cardinal, que penses-tu de ces deux ensembles?
  • Meryem el
    Meryem el
    $ A = B$
  • Amathoué
    Amathoué
    Soit $A$ l’ensemble des lois de composition internes associatives sur $E$ et $B$ l’ensemble des applications de $E\times E$ dans $E$.
    Es-tu d’accord qu’on a bien $A \subset B$ et que $B$ est fini (tu as même donné son cardinal).
    Par ailleurs, tu affimes dans la phrase suivante :

    « mais on peut dire que le nombre des
    lois de compositions interne associative est le
    nombre des applications De $ E \times E $ dans
    $E$. »

    que $A$ et $B$ ont même cardinal. Tu dis donc par la même occasion qu’ils sont égaux. En particulier, tu dis qu’une loi de composition interne est nécessairement associative.
  • Meryem el
    Meryem el
    C'est clair merci beaucoup.
  • Amathoué
    Amathoué
    Avec plaisir.
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,

    J'ai su résoudre le problème pour $n=1$, mais pour les valeurs de $n$ supérieures, je n'ai rien trouvé de mieux que de convoquer Algobox: il m'a répondu que l'on pouvait définir $8$ lois associatives dans un ensemble à $2$ éléments et qu'il en existait $113$ dans un ensemble de cardinal $3$. Et pour un effectif égal à $4$, il m'a envoyé promener, estimant sûrement que les $2^{32}$ boucles que mon algorithme un peu rustique lui imposait, risquaient de prendre un certain temps et étaient peu conformes au code du travail.

    Amicalement,
  • gerard0
    gerard0
    113 pour n=3 ne correspond pas à $n\times n^n (=n^{n+1})$ qui devrait faire 81.

    Cordialement.
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour Gerard0,

    Merci de me faire remarquer que $113\neq 3^4$, mais je ne vois pas d'erreur dans mon algorithme (il y en a peut-être) et suis pour le moins sceptique pour la validité du $n^{n+1}$. Si tu détiens une preuve claire de cette formule, n'hésite pas à me la communiquer.

    Amicalement,
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il me semble que Gérard ne conteste pas ton résultat 113, mais plutôt le "raisonnement" d'Apollonius qui aboutit à $n^{n+1}$.
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement, je ne conteste pas le 113; je n'ai d'ailleurs aucun moyen de le contester sauf à refaire un programme de recherche. Par contre je suis assez dubitatif sur l'explication de Apollonius, ne la comprenant pas.
    Mais là encore, je n'ai pas d'autre idée sur le dénombrement effectif.
    En conclusion, je mettais simplement l'accent sur le fait que ton résultat contredit Apollonius.

    Cordialement.
  • ptiteuclide
    ptiteuclide
    Apparemment, il n'y a pas de formule simple pour cette question, sinon on pourrait penser que l'encyclopédie des suites d'entiers de Sloane la connaîtrait. Voir :
    http://oeis.org/A023814.

    Cordialement
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