Une hypothèse de trop ?

Salut
En essayant de résoudre l'exercice suivant je me suis rendu compte que je n'ai pas utilisé une des hypothèses données donc je me doute de la véracité de ma solution alors si quelqu'un peut jeter un coup d'œil ça sera sympa.

Soit $E$ un ensemble et $A,B,C \in P(E)$ montrer que:
($E=A \cup B$ et $A \cap C \subset B$ et $B \cap C \subset A$)$\implies$ $C$ $\subset A \cap B$

Supposons que $E=A \cup B$ et $A \cap C \subset B$ et $B \cap C \subset A$.
Si $x \in C$ alors $x \in (A \cap C)$ et $x \in (B \cap C)$
Par conséquent $x \in B$ et $x \in A$
c'est-à-dire $x \in A \cap B$
Ainsi, $C$ $\subset A \cap B$
l'hypothèse en question c'est $E=A \cup B$