Calcul matriciel et sous-module engendré

Bonsoir,
Je ne comprends pas la conclusion de la proposition démonstration suivante:

Proposition : Soit $\mathcal{X}:=(x_1,...,x_n)$ une famille finie d'éléments du $A$-module $E$. Soit $\mathcal{Y}:=(y_1,...,y_n)$ la famille définie par les formules : \[ y_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j}x_i (1\leq j \leq n),\] où $M:=(a_{i,j}) \in M_n(A)$. Le sous-module $F$ engendré par les $x_i$ et le sous-module $G$ engendré par les $y_j$ vérifient les relations : \[ (\text{Det } M)F \subset G \subset F.\]

Démonstration : La relation $G\subset F$ est évidente. Pour l'autre relation, on écrit $\mathcal{Y}=\mathcal{X}M$, que l'on multiplie à droite par $N:= ~^t\tilde{M}$. On obtient alors $(\text{Det }M)\mathcal{X} = \mathcal{Y}N$, d'où la conclusion.

J'ai compris jusqu'au "d'où la conclusion", je ne vois pas en quoi la dernière égalité termine la preuve.
Merci de votre aide.