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Matrices semblables

NounouvchNounouvch
dans Algèbre
Salut,
Je ne comprends pas trop la question ici: est ce qu'il faut montrer que deux matrices réelles à coefficients dans $\mathbb{C}$ sont semblables à coefficients dans $\Re $? C'est à dire est-ce que c'est à propos des coefficients? Car j'ai du mal à démarrer en appliquant seulement la définition d'une matrice semblable.. Merci79830

Réponses

  • khattabkhattab
    Il faut montrer qu'on peut trouver une matrice inversible réelle qui valide l'équivalence à partir de la matrice inversible à coefficients complexes.
  • khattabkhattab
    Si tu prends $A=P^{-1}BP,$ $P$ à coefficients complexes, on aura $AP=BP$. En écrivant ensuite les éléments des matrices $AP$ et de $BP$, on obtient l'égalité entre les parties réelles. Donc la matrice $T$ dont les éléments sont les parties réelles des coefficients de $P$ fera l'affaire.
  • rakamrakam
    Bonjour !
    Encore faudrait-il que la matrice $T$ soit inversible !

    C'est un bon point de départ mais il faut aussi considérer la matrice $S$ partie imaginaire de $P$.
    Sachant que $T+iS$ est inversible on peut alors montrer l'existence d'un réel $x$ tel que $T+xS$ soit inversible.
  • NounouvchNounouvch
    Si je comprends bien, $T+xS$ est la matrice "complexe" correspondant à $P$? Et à quoi sert de montrer l'existence du $x$?
  • rakamrakam
    Tu ne comprends "pas bien" puisque j'ai écrit explicitement que tu dois chercher un $x$ réel (je connais le complexe $i$ et j'avais même écrit $P=T+iS$).
  • NounouvchNounouvch
    Oui je veux seulement savoir pourquoi je dois chercher un tel $x$
  • ADAD
    Ben, pour répondre à la question de ton exercice.
    Alain
  • NounouvchNounouvch
    En d'autres termes, qu'est ce qui vous a montré dans l'énoncé qu'il faut chercher un $x$ car je trouve inutile de le chercher si je ne sais même pas pourquoi je le cherche
  • Homo TopiHomo Topi
    On sait qu'il existe une matrice $C \in \text{GL}_n( \mathbb{C})$ telle que $A = C^{-1}BC$, autrement dit telle que $CA=BC$.

    On pose $C = P + iQ$ avec $P, Q \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R})$ : on décompose la matrice complexe $C$ en partie réelle et partie imaginaire.

    On sait que $\text{det}(P + i Q) \neq 0$, donc le polynôme $D(X) = \text{det}(P + XQ)$ est non identiquement nul. Mais $P$ et $Q$ sont des matrices à coefficients réels, donc $D$ est un polynôme à coefficients réels et non identiquement nul. Ce qui signifie qu'il existe un nombre $x$ réel tel que $D(x) \neq 0$, autrement dit, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $P + xQ$ soit inversible.

    La décomposition $C = P + iQ$ nous donne la chose suivante :

    $(P+iQ)A = B(P+iQ)$, d'où l'on tire : $PA + iQA = BP + iBQ$. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient : $PA = BP$ et $QA = BQ$. Donc pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a : $PA + tQA = BP + tBQ$, c'est-à-dire $(P+tQ)A = B(P+tQ)$. En prenant $t=x$, on a bien trouvé une matrice inversible $M = P + xQ$ à coefficients réels telle que $MA = BM$, soit $A = M^{-1}BM$.

    Je me suis inspiré de ce fil mais je me suis permis d'écrire les choses de façon un peu plus détaillée et pédagogique.
  • NounouvchNounouvch
    @Homo Topi
    Merci beaucoup!
  • rakamrakam
    Bref, il te reste à recopier...
  • NounouvchNounouvch
    @rakam
    c'était pas vraiment le but, je voulais comprendre ta démonstration car c'est vrai que tu m'as laissé très peu d'indices et @Homo Topi n'a fait que m'éclaircir
    En tout cas merci
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