Polynôme
Bonsoir à tous,
J'ai une petit incompréhension dans le corrigé de cet exercice sur un polynôme particulier, une transition de calcul que je ne comprends pas :
Dans la raisonnement par récurrence, on change d'un coup les bornes de la somme : on ne somme plus alors jusqu'à n mais jusqu'à m et il y a un terme rn qui apparaît du néant, je ne comprends pas non plus le changement de nature du terme qui est dans la somme...
Quelques développements intermédiaires m'aideraient peut être à mieux comprendre l'astuce...
Merci par avance.
J'ai une petit incompréhension dans le corrigé de cet exercice sur un polynôme particulier, une transition de calcul que je ne comprends pas :
Dans la raisonnement par récurrence, on change d'un coup les bornes de la somme : on ne somme plus alors jusqu'à n mais jusqu'à m et il y a un terme rn qui apparaît du néant, je ne comprends pas non plus le changement de nature du terme qui est dans la somme...
Quelques développements intermédiaires m'aideraient peut être à mieux comprendre l'astuce...
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Réponses
NB (trop tôt) : Voici une façon plus économique de procéder. Pour $n=0$ et $n=1$, la propriété est évidente : avec $P_0(Y)=2$ et $P_1(Y)=Y$, on a bien $X^{0}+X^{-0}=P_0(X+X^{-1})$ et $X+X^{-1}=P_1(X+X^{-1})$. Soit $n\ge1$, supposons que pour tout $k\ge n$, il existe $P_k$ tel que $X^k+X^{-k}=P_k(X+X^{-1})$. Alors \[(X+X^{-1})(X^n+X^{-n})=X^{n+1}+X^{-n-1}+X^{n-1}+X^{-n+1},\quad \text{d'où}\ P_{n+1}=P_1P_n-P_{n-1}\ \text{convient}.\] Note le lien avec la formule $2\cos\theta\cos n\theta=\cos(n+1)\theta+\cos(n-1)\theta$ obtenue en prenant $X=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et les polynômes de Tchebychev.
$$ C_n^k X^{n-k}\left(\frac1X\right)^k + C_n^{n-k} X^{k} \left(\frac1X\right)^{n-k}= C_n^k \left( X^{n-2k} +\frac1{X^{n-2k}}\right)$$
Ceci pour $k<\dfrac{n}2$, c.-à-d. $k$ allant de $0$ à la partie entière de $\dfrac{n-1}2$. Suivant que $n$ est pair ou non, il reste un terme au milieu correspondant à $k=\dfrac{n}2$, ou il n'en reste pas.
Effectivement, la clef c'est d'utiliser que $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, c'est ce détail là qui manquait à ma compréhension.
Pour ce qui concerne ce livre, effectivement c'est bien celui de Gourdon et je rejoins complètement le commentaire ci dessus, je le trouve fort peu pédagogique (mais est ce son but?) et pour tout dire je ne comprends pas pourquoi tous le monde le présente comme un incontournable...
Pour l'agrégation aussi, les bouquins de Gourdon sont pratiques parce que les exercices fournissent des idées de développements pour les leçons à l'oral. De même, les exercices et problèmes permettent de découvrir plein de choses donc c'est excellent pour trouver des nouvelles choses auxquelles s'intéresser pour élargir sa culture mathématique.
Ce sont des bons livres, mais je ne pense pas qu'ils sont très bien pour "découvrir". Je les considère vraiment comme des livres de "révision".
Donc ce sont plutôt des livres d’approfondissement ou de révision.
Concernant l'agrégation, j'ai entendu dire que ces 2 bouquins (analyse et algèbre) sont un bon moyen de la préparer mais l'agrégation ce n'est pas pas au moins un niveau L3 ? Autrement dit, Y a-t-il des morceaux de programme de l'agrégation qui ne sont pas des ces deux bouquins ?
Sans parler bien sûr des proba qui ne sont pas du tout l'objet des deux livres "maths en tête" et pour lesquelles il faut trouver d'autres ressources...