Polynômes satisfaisant des relations

Nounouvch
Nounouvch
dans Algèbre
$P(X^{2})=P(X)$ et $P(X+1)=XP(X)$

Salut, j'essaie de déterminer tous les polynômes vérifiant ces deux relations (elles sont indépendantes) en raisonant sur le degré mais j'ai une difficulté notamment si $P(X^{2})=P(X)$ est en degré équivalente à $2\deg(P)=\deg(P)$ et pourquoi ? Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    En posant $P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+...+a_n X^n$, où $a_n\neq 0$, le degré de $P(X^2)$ sera évident. Attention aux cas de très bas degré.

    Je dis cela, mais c'est quand même très élémentaire. Tu aurais trouvé seul si tu n'avais pas perdu ton temps à demander.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Disons que j'ai une peur bleue des polynômes 8-)
    Merci
  • gerard0
    gerard0
    Aucune raison d'avoir peur, un polynôme est très sage, il a une expression de base comme somme de monômes de degrés tous différents (sauf le polynôme nul). Et des propriétés agréables.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    @gerard0
    Je sais que je te dérange mais j'ai vraiment besoin de ton aide (et j'en aurai plus besoin prochainement) mais je promets que je poserai des questions claires pour te faciliter la tâche !
    Donc voilà l'exercice, mes questions se reporteront sur $3$ et $4$
    Et voici l'élément de correction :
    Mon problème tu l'as sans doute deviné, je suis incapable de rapporter les valeurs d'un polynôme dans une expression et je bloque pas mal avec l'identification dès que ça commence à se compliquer.
    Par exemple, le 1 dans $\deg(P(X)-P(X-1))=\deg P-1$ il vient d'où ?
    Pourquoi poser $P_{1}=P-P(0)$ et comment avoir la valeur $P(0)$ ?

    Je n'ai pas obtenu la valeur finale de $P_{1}$..
    Et pour 4 je n'ai pas la moindre d'idée d'où ça vient.
    Je sais que je te demande trop et que cela pourrait te paraître évident mais crois-moi je bloque vraiment !
    Merci.79850
    79852
  • Poirot
    Poirot
    Pour 3), il suffit de l'écrire encore une fois. Si $P = a_n X^n + \text{ termes de degré inférieur}$ alors $P(X-1) = a_n(X-1)^n + \text{termes de degré inférieur} = a_nX^n + \text{termes de degré inférieur}$ en développant un petit binôme de Newton.

    On pose $P_1 = P-P(0)$ car $P_1$ a le bon goût de s'annuler en $0$, et donc d'être multiple de $X$, ce qui facilite les calculs (seulement trois coefficients à trouver).

    Pour 4), qu'est-ce que tu ne "vois pas d'où ça vient" ?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    $P_1$ s'annule en 0 d'accord! Mais quel rapport avec le calcul de 3 coefficients?
    Pour 4 j'essaierai de chercher d'avantage!
  • Poirot
    Poirot
    Puisque $P_1$ s'annule en $0$ et est de degré $3$, il s'écrit, comme dans ta correction $aX^3+bX^2+cX$, il ne reste plus qu'à calculer les coefficients de $P-P(X-1)$, ce qui se fait plus facilement s'il n'y a que 3 coefficients à considérer ! Bon au final cette astuce n'est pas nécessaire pour résoudre l'exercice. Si on on n'introduit pas $P_1$, la même technique te donne le même système, tu n'auras juste aucune condition sur le coefficient constant $P(0)$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    D'accord mercii
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