Groupe engendré par une transposition

Il suffit de connaître les conjugués d'un cycle dans $\mathfrak S_n$. Ici, dès que $n \geq 3$ on peut calculer $(13)(12)(13)=(23)\neq(12), id$ et donc le sous-groupe (à deux éléments !) engendré par $(12)$ n'est pas distingué dans $\mathfrak S_n$.

Oui, il y a aussi les permutations qui échangent $1$ et $2$ !

Tu n'as pas encore calculé $\tau=\sigma(1,2)\sigma^{-1}$ pour $\sigma$ permutation quelconque ? Il est temps d'y remédier.

Pour calculer l'image d'un élément $k\in\{1,\dots,n\}$ par $\tau$, tu peux distinguer deux cas, selon que $\sigma^{-1}(k)$ est dans le support de $(1,2)$ (est-ce qu'il bouge, quoi ?) ou pas.

Et si $\sigma^{-1}(k)\in\{1,2\}$ ? Et donc, $\tau$ ?

Bonsoir Leo
Comme tu l'as ébauché et comme l'a dit Math Coss, le normalisateur de $(12)$ dans $\mathfrak S_n$ contient d'une part le sous-groupe engengré par $(12)$, d'ordre 2 et d'autre part le sous-groupe des permutations laissant fixe $(12)$. C'est le sous-groupe des permutations dont le support est contenu dans $\{3,4,\ldots,n\}\ (n\geq 3) $, qui est isomorphe à $\mathfrak S_{n-2}$ et qu'on notera $S'$ (il est trivial si $n=3$).
Le normalisateur contient donc le sous-groupe engendré par $\langle (12)\rangle$ et par $S'$.
Maintenant comme $(12)$ et $S'$ ont des supports disjoints, $(12)$ commute avec tous les éléments de $S'$ et bien évidemment , à cause des supports, on a $\langle(12)\rangle\cap S'=\{\mathrm{id}\}$.
Donc $\mathrm{Norm}_{\mathfrak S_n}(12)$ contient le produit direct $\langle(12)\rangle\times S'$.

Maintenant, toutes les transpositions sont conjuguées dans $\mathfrak S_n$. Il y en a $\binom n 2=\frac 1 2 n(n-1)$, chaque transposition engendrant un sous-groupe d'ordre 2.
La classe de conjugaison du sous-groupe $\langle(12)\rangle$ est donc composée de $\frac 1 2 n(n-1)$ sous-groupes. Donc le normalisateur de $\langle(12)\rangle$ est d'ordre $\dfrac{|\mathfrak S_n|}{\frac 1 2 n(n-1)} = \dfrac{n!}{\frac 1 2 n(n-1)} = 2\,(n-2)!$, qui est précisément l'ordre du produit direct ci-dessus. On en déduit que $$\mathrm{Norm}_{\mathfrak S_n}(12)=\langle(12)\rangle\times S'\simeq C_2\times\mathfrak S_{n-2}.
$$
$\bullet~$ Si $n=3, \ S'=\mathfrak S_{1}=\{\mathrm {id}\}$ et $\mathrm{Norm}_{\mathfrak S_3}(12)= \langle(12)\rangle\simeq C_2$. En effet $\langle(12)\rangle$ est son propre normalisateur car il est maximal dans $\mathfrak S_3$ et n'est pas distingué dans $\mathfrak S_3$
$\bullet~$ Si $n=4,\ S'\simeq \mathfrak S_2\simeq C_2$ et $\mathrm{Norm}_{\mathfrak S_4}(12)= \langle(12)\rangle\times \langle(34)\rangle\simeq C_2\times C_2$. Ce n'est pas le sous-groupe de Klein car ce dernier n'est constitué que de double transpositions et ici $(12)$ n'en est pas une.
$\bullet~$ Si $n=5,\ S'\simeq\mathfrak S_3,\ \mathrm{Norm}_{\mathfrak S_5}(12)= \langle(12)\rangle\times S'\simeq C_2\times \mathfrak S_3\simeq D_6$ le diédral à 12 éléments. Remarquons que $\langle(12)\rangle$ en est le centre et est donc bien normalisé par ce $D_6$.

Alain

@leo_lk

Concernant ton dernier message, tu sembles vouloir établir un isomorphisme avec un produit direct externe. C'est bien sûr toujours possible mais ne me semble pas nécessaire ici. Je pense qu'Alain parlait d'un produit direct interne quand il a écrit « Donc $\mathrm{Norm}_{\mathfrak S_n}(12)$ contient le produit direct $\langle(12)\rangle\times S'$ ».

D'autre part, tu as l'air de penser que la relation $HN = NH$ implique que l'application $(h,n)\mapsto hn$ de $H\times N$ dans $\langle H, N \rangle$ est un morphisme de groupes. Je t'invite à considérer les sous-groupes $H = \langle \tau \rangle$ et $N = \langle \sigma \rangle$ de $\mathfrak{S}_3$, où $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. (:P)

AD a écrit:

$\bullet~$ Si $n=4,\ S'\simeq \mathfrak S_2\simeq C_2$ et $\mathrm{Norm}_{\mathfrak S_4}(12)= \langle(12)\rangle\times \langle(34)\rangle\simeq C_2\times C_2$. Ce n'est pas le sous-groupe de Klein car ce dernier n'est constitué que de double transpositions et ici $(12)$ n'en est pas une.

Et pourtant il est isomorphe au groupe de Klein. :-D
J’ai mis quelques secondes à voir la nuance.