Sous-groupe distingué

Gauss_wh · September 2018

Salut,

Soit $H$ un sous-groupe d'un groupe $G$. Je sais que $H$ est distingué dans $G$ lorsque ces assertions équivalentes sont vraies :
1) $\exists$ groupe $G'$ et $f\in\text{Hom}(G,G'), \text{Ker}(f)=H$ ;
2) $\forall g\in G, gHg^{-1}\subset H$ ;
3) $\forall g\in G, gHg^{-1}=H$ ;
4) $\forall g\in G, gH=Hg$ ;
5) $\exists$ une loi de composition interne $\star$ telle que $(G/H,\star)$ est un groupe et la surjection canonique $\pi\in\text{Hom}(G,G/H)$.

Pas de problème pour démontrer ça. Ma question est la suivante : pourquoi est-ce que dans 5), $\star$ est l'unique loi de groupe sur $G/H$ ? Pour l'existence c'est bon, mais c'est l'unicité qui m'échappe.

brian · September 2018

Salut,

Le fait que la surjection canonique de $G$ dans $G/H$ soit un morphisme de groupes impose l'unicité de la loi de $G/H$ (y'a qu'à l'écrire !).

Poirot · September 2018

Attention, a priori il n'y a pas une unique loi de groupe sur l'ensemble $G/H$. Par contre il y en a une unique qui fait que la projection canonique $\pi : G \to G/H$ est un morphisme de groupes, c'est celle donnée par $gH \star g'H = gg'H$, qui est bien définie car $H$ est supposé distingué dans $G$.

brian · September 2018

Merci pour la précision, certainement utile. Cela dit, la propriété 5) de Gauss_wh disait explicitement $\pi\in\text{Hom}(G,G/H)$ donc l'hypothèse « $\pi$ est un morphisme de groupes » était bien là. Il est vrai, en revanche, que si on lit l'avant-dernière phrase de Gauss_wh, ce point-là, bien qu'il soit fait référence à la propriété 5), semble manquer pour que l'assertion donnée soit correcte.