Montrer qu'une application est linéaire
Salut, on me demande de montrer que $\varphi _{k}$ est linéaire mais j'ai un problème au niveau de l'application de la définition.
Est-ce que je dois écrire : soient $\alpha $ et $\beta $ deux éléments de $\mathbb{R}$, et soient $f$ et $g$ deux fonctions de $E$
montrons que $\left ( \alpha f+\beta g \right )^{k}(0)=\alpha f^{k}(0)+\beta g^{k}(0)$ ?
Ou bien choisir $\varphi _{k}$ et $\varphi _{k+1}$ et appliquer la définition ?
Est-ce que je dois écrire : soient $\alpha $ et $\beta $ deux éléments de $\mathbb{R}$, et soient $f$ et $g$ deux fonctions de $E$
montrons que $\left ( \alpha f+\beta g \right )^{k}(0)=\alpha f^{k}(0)+\beta g^{k}(0)$ ?
Ou bien choisir $\varphi _{k}$ et $\varphi _{k+1}$ et appliquer la définition ?
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Réponses
Tu peux aussi décomposer $\varphi_k$ comme la composée de deux applications linéaires (vois-tu qu'en quelque sorte il y a "deux étapes" pour appliquer $\varphi_k$ ?). Si tu sais déjà que la dérivation est linéaire ce sera gagné.
Ce que tu as à rédiger est :
$\varphi_k(\alpha.f+\beta.g)= ....= \alpha.\varphi_k(f)+\beta.\varphi_k(g)$
(application d'une propriété connue du cours).
Cordialement.
> Tu peux aussi décomposer $\varphi_k$ comme la composée de deux applications linéaires
Tu veux dire que je dois poser $\varphi _{k}=u\circ v$ et essayer de trouver $u$ et $v$ ?
Un indice : $v$ est un endomorphisme de $E$ et $u$ est une forme linéaire sur $E$, c'est-à-dire une application linéaire de $E$ dans $\mathbb R$.
\mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\
x&\mapsto& f(x)
\end{array}\right.\quad$ et $\quad u=\left\{\begin{array}{ccl}
E&\rightarrow &\mathbb{R} \\
f&\rightarrow &\frac{df}{dx}^{k}(0)
\end{array}\right .$
Même si c'est probablement faux, mais j'ai voulu écrire à quoi je pensais
Tu es censé écrire un endomorphisme de l'espace vectoriel $E$ pour $v$, ici tu as décrit une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, et en plus le $u$ que tu as écrit est exactement $\varphi_k$...
E\rightarrow E & \\
f\rightarrow &
\end{Bmatrix}$
et $u=\begin{Bmatrix}
E\rightarrow \mathbb{R} & \\
\rightarrow f^{k}(0) &
\end{Bmatrix}$
je vais chercher les places que j'ai laissé vide en se basant sur $\varphi_k = u \circ v$ tu me laissera le temps d'y réfléchir!
Merci pour les indications
Merci @Poirot