Image matrice semi-définie positive

Mister Da
Mister Da
dans Algèbre
Bonjour,

j'ai la mince intuition que l'image de la somme de matrices symétriques semi-définies positives est égale à la somme des images de chacune des matrices mais je n'arrive pas à le démontrer. Je voulais utiliser le fait que les valeurs propres sont réelles et positives (non strictement) et les vecteurs propres sont orthogonaux mais je n'arrive pas à développer plus loin.

Pourriez-vous m'éclairer ?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da

Edit : ajout de "semi", merci MrJ.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Comme tes matrices sont nécessairement inversibles, c'est trivial en fait. (:P)
  • Mister Da
    Mister Da
    Oupppps j'ai oublié le "semi"..., je corrige désolé pour la coquille et merci de me l'avoir fait remarquer.

    Cordialement,
    Mister Da
  • P.
    P.
    Si $a$ est semi definie positive alors $a(x)=0\Leftrightarrow \langle x,a(x)\rangle=0.$ Si $b$ est aussi semi definie positive alors donc $(a+b)(x)=0$ si et seulement si $a(x)=b(x)=0$ et donc $ker(a+b)=\ker\ a\cap ker\ b.$ Comme $a$ et $b$ sont symetriques noyau et image sont orthogonales. Donc $Im\ a+Im\ b=Im (a+b).$
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,
    merci beaucoup P. ! Comme d'habitude, simple et élégant là où je fais moche et compliqué...
    Cordialement,
    Mister Da
  • P.
    P.
    Bah, l'enonce d'une propriete , avec ce qu'il suppose d'imagination, de curiosite et d'observation, est souvent plus important, plus respectable ,et plus difficile a trouver que sa demonstration.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour
    Merci pour ton message, c'est motivant ! Néanmoins il faut aussi une superbe vision des choses pour être capable de dégainer de belles démonstrations (et avec une sacrée rapidité).

    J'ai une petite question concernant ta démonstration. Dans le dernier "donc", tu utilises à un moment le fait que l'orthogonal de l'orthogonal est le sous-espace initial car nous sommes en dimension finie. Est-ce bien ça ?

    Cordialement,
    Mister Da

    [Ne pas oublier les traits d'union. ;-) AD]
  • P.
    P.
    Oui, bien sur.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,
    d'accord, merci pour la précision. Quand j'ai lu la première fois la démonstration, je n'y avais pas prêté attention, c'est seulement en la refaisant ce week-end que j'ai réalisé, d'où mon doute.

    Encore un grand merci pour ton aide et au plaisir de te recroiser !

    Cordialement,
    Mister Da
  • P.
    P.
    Et merci pour les fleurs.
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