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Image matrice semi-définie positive

Envoyé par Mister Da 
Image matrice semi-définie positive
l’an passé
Bonjour,

j'ai la mince intuition que l'image de la somme de matrices symétriques semi-définies positives est égale à la somme des images de chacune des matrices mais je n'arrive pas à le démontrer. Je voulais utiliser le fait que les valeurs propres sont réelles et positives (non strictement) et les vecteurs propres sont orthogonaux mais je n'arrive pas à développer plus loin.

Pourriez-vous m'éclairer ?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da

Edit : ajout de "semi", merci MrJ.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
MrJ
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Comme tes matrices sont nécessairement inversibles, c'est trivial en fait. spinning smiley sticking its tongue out
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Oupppps j'ai oublié le "semi"..., je corrige désolé pour la coquille et merci de me l'avoir fait remarquer.

Cordialement,
Mister Da



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Mister Da.
P.
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Si $a$ est semi definie positive alors $a(x)=0\Leftrightarrow \langle x,a(x)\rangle=0.$ Si $b$ est aussi semi definie positive alors donc $(a+b)(x)=0$ si et seulement si $a(x)=b(x)=0$ et donc $ker(a+b)=\ker\ a\cap ker\ b.$ Comme $a$ et $b$ sont symetriques noyau et image sont orthogonales. Donc $Im\ a+Im\ b=Im (a+b).$



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par P..
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Bonjour,
merci beaucoup P. ! Comme d'habitude, simple et élégant là où je fais moche et compliqué...
Cordialement,
Mister Da
P.
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Bah, l'enonce d'une propriete , avec ce qu'il suppose d'imagination, de curiosite et d'observation, est souvent plus important, plus respectable ,et plus difficile a trouver que sa demonstration.
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Bonjour
Merci pour ton message, c'est motivant ! Néanmoins il faut aussi une superbe vision des choses pour être capable de dégainer de belles démonstrations (et avec une sacrée rapidité).

J'ai une petite question concernant ta démonstration. Dans le dernier "donc", tu utilises à un moment le fait que l'orthogonal de l'orthogonal est le sous-espace initial car nous sommes en dimension finie. Est-ce bien ça ?

Cordialement,
Mister Da

[Ne pas oublier les traits d'union. winking smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
P.
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Oui, bien sur.
Re: Image matrice définie positive
l’an passé
Bonjour,
d'accord, merci pour la précision. Quand j'ai lu la première fois la démonstration, je n'y avais pas prêté attention, c'est seulement en la refaisant ce week-end que j'ai réalisé, d'où mon doute.

Encore un grand merci pour ton aide et au plaisir de te recroiser !

Cordialement,
Mister Da
P.
Re: Image matrice semi-définie positive
l’an passé
Et merci pour les fleurs.
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