Polynôme caractéristique: c'est quoi?

$\DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\det}{det}$J'ai l'impression que concernant les polynômes, il y a eu trois stades historiques:

1) Le stade, disons naïf, au [small]XVIII[/small]^e et [small]XIX[/small]^e siècles par exemple, où un polynôme c'était une «expression», ou une fonction, par exemple $3 x^2 + x - 1$, et on ne cherchait pas plus loin.

2) Le stade où on a voulu distinguer les les polynômes des fonctions polynômes. On s'est mis à parler de «la variable formelle $X$». C'est ce qu'on m'a enseigné en Maths Sup, en 1974-75, et ça a failli me dégoûter des maths. L'idée de «variable formelle» ne veut rien dire.

3) On a voulu faire mieux, et maintenant on a l'algèbre des polynômes sur un corps, défini par sa propriété universelle. L'objet $X$ n'a alors rien d'une «variable»; c'est juste un certain élément de l'ensemble de base de l'algèbre.

Avec le stade 3, on a troqué l'horrible furoncle du la «variable formelle» contre l'élégante abstraction de la propriété universelle. Sauf que tout le monde continue à penser à l'ancienne manière, celle de la «variable formelle». Sinon, comment expliquer que vous trouviez si facile de mettre $X$ à la place de $\lambda$ dans l'écriture d'un déterminant?

La différence entre les $\lambda$ et les $X$ n'est pas que le premier a juste un bras en l'air et l'autre deux. C'est que quand on parle de $\lambda$ on entend un élément du corps de base, alors que $X$ est tout autre chose. Par exemple, si notre corps $K$ est $\Z/2\Z$, pour tout $\lambda \in K$, on a $\lambda^2 = \lambda$. Malgré ça, dans $K[X]$, on n'a pas du tout $X^2 = X$.

On ne peut pas simplement mettre $X$ dans un déterminant à la place de $\lambda$, parce que c'est un objet d'une autre nature. Personnellement, je sais aussi bien que n'importe qui «faire comme si», et développer un «déterminant» où on a mis des $X$ à la place des $\lambda$, mais j'aimerais savoir ce que ce faisant je fais. Le déterminant d'un endomorphisme est défini comme un élément du corps de base. Il s'ensuit que notre fonction caractéristique $\lambda \mapsto \chi_\phi(\lambda)$ est simplement ça: une fonction. Avec $K = \Z/2\Z$, pour un certain $\phi$ on peut avoir $\chi_\phi(\lambda) = \det (\phi - \lambda \Id)$ valant identiquement $0$; mais alors, $\chi_\phi(\lambda)$ peut aussi bien s'écrire $0$ que $\lambda^2 + \lambda$ ou $\lambda^7 + \lambda$. Quel est alors le polynôme caractéristique: $0$, ou $X^2 + X$, ou $X^7 + X$?

@Poirot: J'avais bien lu ton message, mais je n'y avais répondu que de manière oblique.

Tu m'invites à considérer le déterminant comme un polynôme, et c'est effectivement ce que je veux. Tu m'encourages à n'avoir pas peur d'un déterminant sur un anneau; ben justement, si, j'ai un peu peur. Parce que c'est un terrain non balisé pour moi, et pour le lecteur lambda (ou X) de ce fichu bouquin.

Il y a deux approches du déterminant, celle que tu cites ($\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \epsilon(\sigma) \prod \ldots$) et celle basée sur les formes $n$-linéaires alternées. Elles donnent le même résultat, dans le cas classique du déterminant sur un corps. Mais sur un anneau, est-ce le cas? Les formes $n$-linéaires alternées sur un module - puisqu'on n'est plus dans un espace vectoriel - je ne les ai pas étudiées.

Et aussi, il manque tous les raisonnements pour montrer comment tout cela s'articule avec le problème d'origine, qui concerne les endomorphismes d'espace vectoriel. J'ai l'impression que les raisonnements que je suis censé ingurgiter son remplis de trous, où l'«évidence» remplace en catimini le raisonnement détaillé.

Bon, je cesse de me plaindre. Je crois que j'ai compris ce chapitre (sur la diagonalisation) au moins autant que n'importe quel étudiant, et je vais me satisfaire de ça pour le moment. Merci à toustes pour vos réponses.