Nombre de monômes des multiples d'un polynôme

Il faut voir un polynôme à $n$ variables comme une mesure sur $\mathbb{N}^n$ et donc les puissances du polynôme comme associées à des puissances de convolution de cette mesure. Il y a alors une chose épatante qui est un cas particulier du théorème de Titéchmarch Lions de 1948 sur les convolutions des distributions de Schwartz à support compact. . Bien que la mesure ne soit pas nécessairement positive, on prend l'enveloppe convexe $C(P)$ de son support et alors $C(PQ)=C(P)+C(Q)$ (somme, pas union, et egal, et pas inclus). Donc $C(P^k)=C(P)+\cdots+C(P)$ $k$ fois.
Il me semble que cela devrait Être la clef de ton intéressant problème.

$C(PQ)=C(P)+C(Q)$ se démontre à la main et je me souviens de l'avoir montré en deuxième année d'université, par récurrence sur $n$ sans doute.

Hello

Moi je trouve la question posée intéressante. Appelons $m(P)$ le nombre de monômes d'un polynôme.
Pour un polynôme $P$ donné, que peut-on dire sur $r(P)=j(P)/m(P)$ (à part que $r(P)\in ]0,1]\}$). On pourrait se poser la même question pour une famille de polynômes $P_1,\ldots,P_t$ en définissant $j(I)=\min_{Q\in I} (m(Q))$, $I$ étant l'idéal engendré par cette famille de polynômes et $m(P_1,\ldots ,P_t)=\min(m(P_1),\ldots ,m(P_t))$ et $r(P_1,\ldots ,P_t)=j(I)/m(P_1,\ldots ,P_t)$.

Par exemple, je pense avoir montré que $r(\phi_n)=1$, $\phi_n$ étant la famille de polynômes $(\phi_{\{i_1,\ldots ,i_n\}}(X_1,\ldots ,X_{m\geq n})=\sum_{e\in \{0,1\}^n} X_{i_1}^{e_1}...X_{i_n}^{e_n})_{\{i_1,\ldots ,i_n\}\subseteq\{1,\ldots ,m\}}$.
Pour un idéal $I$ donné, existe-t-il (toujours, sinon à quelle condition ?) une famille de polynômes $P_1,\ldots ,P_t$ telle que $r(P_1,\ldots ,P_t)=1$ ?

Qu'en pensez-vous ?