Racines nième de l'unité
Salut, en consultant un corrigé j'ai trouvé ceci;
Ma question est sur le niveau de ce qui est marqué en rouge.
Comment on a passé de $\sum_{j=0}^{n}a_{j}(\sum_{k=0}^{n}w^{k(j-p)})$ à $(\sum_{k=0}^{n}(w^{j-p^{k}}))$.
Et pour la distinction des cas je ne vois pas très clair non plus.
Merci de m'éclairer
Voici l'exercice aussi.
Ma question est sur le niveau de ce qui est marqué en rouge.
Comment on a passé de $\sum_{j=0}^{n}a_{j}(\sum_{k=0}^{n}w^{k(j-p)})$ à $(\sum_{k=0}^{n}(w^{j-p^{k}}))$.
Et pour la distinction des cas je ne vois pas très clair non plus.
Merci de m'éclairer
Voici l'exercice aussi.
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Réponses
$$\omega^{k(j-p)}= \left(\omega^{j-p}\right)^k\;.$$
Je sais que la somme des racines de l'unité est égal à 0
Disons que $\zeta = \exp(\frac{2i l \pi}{n})$ avec $l \in \{0, \dots, n-1\}$. Que vaut $$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \,\,?$$
ce qui égal à 0 si l=1
différent de 0 sinon.
Mais si je remplace par $\omega^{k(j-p)}= \left(\omega^{j-p}\right)^k\;.$ alors c'est pour j=p que j'obtient un 0 non?
Cordialement.
Que vaut $\zeta^n$ pour n'importe quelle valeur de $l$ ? (Rappel : $\zeta = \exp\left(\frac{2i \pi l}{n}\right)$ avec $l \in \{0, \dots, n-1\}$)
Que vaut $$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k$$ si $l=0$ ? Pour les autres valeurs de $l$, applique la formule que tu as donnée précédemment, en te convaincant que tu as le droit, et conclus.
$\zeta^n$ = $e^{2il \pi}$ si $l=0$ j'aurais $n+1$
sinon j'applique l'autre fortmule
Oui j'étais convaincu que la somme était égal à 0 mais ici on a les racines élevé à une puissance k
et on obtient 0 pour $l\neq 0$ ?
Quelle perte de temps de demander aux autres au lieu de chercher à comprendre ... et prendre des cas simples pour voir ce qui se passe est quand même le b. a. ba de l'étudiant ...