Racines nième de l'unité
Salut, en consultant un corrigé j'ai trouvé ceci;
Ma question est sur le niveau de ce qui est marqué en rouge.
Comment on a passé de $\sum_{j=0}^{n}a_{j}(\sum_{k=0}^{n}w^{k(j-p)})$ à $(\sum_{k=0}^{n}(w^{j-p^{k}}))$.
Et pour la distinction des cas je ne vois pas très clair non plus.
Merci de m'éclairer
Voici l'exercice aussi.
Ma question est sur le niveau de ce qui est marqué en rouge.
Comment on a passé de $\sum_{j=0}^{n}a_{j}(\sum_{k=0}^{n}w^{k(j-p)})$ à $(\sum_{k=0}^{n}(w^{j-p^{k}}))$.
Et pour la distinction des cas je ne vois pas très clair non plus.
Merci de m'éclairer
Voici l'exercice aussi.
Réponses
-
Il y a un "Mais" qui marque le début d'une nouvelle phrase dans le texte, et par ailleurs
$$\omega^{k(j-p)}= \left(\omega^{j-p}\right)^k\;.$$ -
Il suffit de connaître la formule donnant la somme d'une progression géométrique. Si $\zeta$ est une racine $n$-ième de l'unité, que vaut $\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k$ ? Avec ça tu peux en déduire l'égalité annoncée en distinguant si $j=p$ ou non. Comme l'a dit GBZM, il n'y a pas de lien direct avec l'écriture au-dessus faisant intervenir des $a_j$. L'égalité fléchée va certainement servir dans la suite de la démonstration, puisque justement il y a un terme de cette forme dans la réécriture de $S_p$ au début.
-
Ce n'est pas très bien dit. Il faudrait être plus précis dans ce que tu racontes !
Disons que $\zeta = \exp(\frac{2i l \pi}{n})$ avec $l \in \{0, \dots, n-1\}$. Que vaut $$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \,\,?$$ -
$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \,\,?$ = 0 ?
-
Pourquoi? Quelque soit la valeur prise par $l$?
-
Pour l=0, ce serait étonnant !
-
j'ai croisé un jour que la somme des racines de l'unité était égal à 0, mais visiblement c'est incorrect.
-
$\sum_{k=0}^{n-1}\zeta ^{k}$ = $\frac{1-\zeta ^{n}}{1-\zeta }$
ce qui égal à 0 si l=1
différent de 0 sinon.
Mais si je remplace par $\omega^{k(j-p)}= \left(\omega^{j-p}\right)^k\;.$ alors c'est pour j=p que j'obtient un 0 non? -
La somme des racines de l'unité vaut 1 0, mais pas nécessairement la somme de leurs puissances k-ièmes.
Cordialement. -
Coquille, Gérard : vaut $0$. Sauf si l'on parle des racines 1-èmes de l'unité. :-D
-
Effectivement, je rectifie ... j'ai été influencé par le nombre de buts des Pays-Bas ce soir.
-
@Nounouvch : avant d'écrire la quantité $\frac{1-\zeta ^{n}}{1-\zeta }$, il faudrait peut-être s'assurer que le dénominateur ne s'annule pas tu ne crois pas ? Pour le résultat que tu annonces, c'est bien sûr complètement faux.
Que vaut $\zeta^n$ pour n'importe quelle valeur de $l$ ? (Rappel : $\zeta = \exp\left(\frac{2i \pi l}{n}\right)$ avec $l \in \{0, \dots, n-1\}$)
Que vaut $$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k$$ si $l=0$ ? Pour les autres valeurs de $l$, applique la formule que tu as donnée précédemment, en te convaincant que tu as le droit, et conclus. -
Oui j'ai oublié de dire pour le dénominateur dans mon message
$\zeta^n$ = $e^{2il \pi}$ si $l=0$ j'aurais $n+1$
sinon j'applique l'autre fortmule
Oui j'étais convaincu que la somme était égal à 0 mais ici on a les racines élevé à une puissance k
et on obtient 0 pour $l\neq 0$ ? -
Il est quand même facile de regarder ce qui se passe pour n=3 et n=4 en testant toutes les valeurs de $\ell$. Au moins, on ne reste pas dans le flou face à une écriture mal comprise ...
Quelle perte de temps de demander aux autres au lieu de chercher à comprendre ... et prendre des cas simples pour voir ce qui se passe est quand même le b. a. ba de l'étudiant ... -
Oui t'as raison j'ai compris
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 28
+21 Invités