Table de multiplication d'un groupe
Salut,
On considère la table de multiplication d'un groupe fini $(G,\star)$. Je comprends que $\star$ est entièrement déterminée par la table de multiplication (en effet, la table donne $a\star b$ pour tout $(a,b)\in G^2$).
Par contre, je n'arrive pas à montrer formellement (même si je l'ai déjà utilisé sans le savoir) que visuellement sur la table, chaque élément de $G$ apparaît une unique fois sur chaque ligne et colonne.
Voilà comment j'essaie de m'y prendre :
Par symétrie, il suffit de se restreindre à le montrer sur les colonnes.
1) Supposons qu'il existe $a\in G$ dont la colonne de multiplication ne comporte pas un élément $b\in G$. Je n'arrive pas à exhiber une contradiction. À part dire que $b$ ne peut pas être le neutre $e$ (car $a$ est inversible) ni $a$ (car $e\star a=a$), je ne vois pas quoi faire.
2) Supposons qu'il existe $a\in G$ dont la colonne de multiplication comporte deux fois l'élément $b\in G$. Je n'arrive pas à exhiber une contradiction. À part dire que $b$ ne peut pas être $e$ (car l'inverse de $a$ est unique), je ne vois pas quoi faire.
On considère la table de multiplication d'un groupe fini $(G,\star)$. Je comprends que $\star$ est entièrement déterminée par la table de multiplication (en effet, la table donne $a\star b$ pour tout $(a,b)\in G^2$).
Par contre, je n'arrive pas à montrer formellement (même si je l'ai déjà utilisé sans le savoir) que visuellement sur la table, chaque élément de $G$ apparaît une unique fois sur chaque ligne et colonne.
Voilà comment j'essaie de m'y prendre :
Par symétrie, il suffit de se restreindre à le montrer sur les colonnes.
1) Supposons qu'il existe $a\in G$ dont la colonne de multiplication ne comporte pas un élément $b\in G$. Je n'arrive pas à exhiber une contradiction. À part dire que $b$ ne peut pas être le neutre $e$ (car $a$ est inversible) ni $a$ (car $e\star a=a$), je ne vois pas quoi faire.
2) Supposons qu'il existe $a\in G$ dont la colonne de multiplication comporte deux fois l'élément $b\in G$. Je n'arrive pas à exhiber une contradiction. À part dire que $b$ ne peut pas être $e$ (car l'inverse de $a$ est unique), je ne vois pas quoi faire.
Réponses
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Bonjour
Le plus simple est de montrer que pour $a$ fixé, l'application $x\mapsto ax$ est bijective, en exhibant la réciproque (ce qui te fournira les contrexemples que tu cherches un peu inutilement) -
Ah effectivement, et cela est trivial, merci.
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Dans ce cadre, j'ai une autre question. Il s'agit de trouver toutes les lois d'un groupe $G$ pour $|G|\leq 4$. J'essaie de m'y prendre avec les tables de multiplication.
Pour $|G|=1$, il n'y en a qu'une et on l'exhibe facilement en dressant sa table.
Pour $|G|=2$, idem.
Pour $|G|=3$, idem, en utilisant notamment que chaque élément doive apparaître une unique fois sur chaque ligne/colonne.
Pour $|G|=4$, ça se complique. Je sais qu'il y en a 2 mais je n'arrive pas le justifier en dressant les tables. En notant $G=\{e,a,b,c\}$ avec $e$ le neutre, une fois avoir rempli la ligne en face de $e$ et la colonne en dessous de $e$, comment remplir le reste (il y a 9 cases à remplir) ? -
Il n'y a pas beaucoup de valeurs possibles pour $a*b$, $b*c$, $c*a$ et leurs symétriques. Reste à choisir ceque doivent valoir $a^2, b^2$ et $c^2$.
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Ah oui, comme $a\star b\notin\{a,b\}$ (sinon $b=e$ ou $a=e$), il nous reste deux cas possibles :
1) $a\star a=c,a\star b=e, a\star c=b, b\star a=e,b\star b=c,b\star c=a, c\star a=b,c\star b=a, c\star c=e$
2) Par contre ici, je n'arrive pas à déduire les autres valeurs si $a\star b=c$, en particulier, je n'arrive pas à voir quoi prendre entre $a\star a=e$ et $a\star a=b$. -
Rebonjour
Justement, en explorant les deux possibilités tu trouveras les deux tables possibles (dont tu dis connaitre l'existence). -
Désolé de revenir si tard. Sauf qu'avec la table du 1) et les deux du 2), ça ferait trois tables 8-)
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Eh, non… Vérifie que au nom des éléments près il y a deux tables isomorphes!
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Bonjour!
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