Projection de vecteurs ou de fonctions.

Je risque une réponse un peu différente.

Si on prend un point de $\R^2$, c'est un couple $(x,y)$ de réels, il a deux coordonnées : l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$. Si on projette ce point sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées (au sens du message de Gérard), on tombe sur le point $(x,0)$ ; par extension, on dit que $x$ est la première projection de $(x,y)$ sur l'axe des abscisses. De même, si on projette $(x,y)$ sur l'axe des ordonnées, on tombe sur $(0,y)$ ; par extension ou par abus, on dit que $y$ est la deuxième projection de $(x,y)$.

En fait, $\R^2$, c'est $\R\times\R$. On peut formellement étendre cette idée de projections à des ensembles plus abstraits $E$ et $F$ : un élément de $E\times F$ est par définition un couple $(x,y)$ formé par un élément $x$ de $E$ et un élément $y$ de $F$. Sa première projection est $x$, sa deuxième projection est $y$. Voici une représentation de $E\times F$ avec $E=\{\spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit\}$ et $F=\{a,b,c\}$. Dans cette représentation, si tu pars de $(x,y)=(\diamondsuit,b)$ par exemple et que visuellement, tu le « projettes vers le bas », tu tombes sur $\diamondsuit$ ; si tu le « projettes vers la gauche », tu tombes sur $b$ dans $F$.

C'est cette analogie qui justifie le nom de « projection » pour les applications $p_1:E\times F\to E$, $(x,y)\mapsto x$ et $p_2:E\times F\to E$, $(x,y)\mapsto y$.

Maintenant, on peut le faire avec un nombre quelconque de coordonnées au lieu de seulement deux. Fixons deux entiers $n$ et $k\le n$. Sur $\R^n$, la $k$-ième projection est l'application qui à tout élément $(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_n)$ associe $x_k$. Sur un produit de $n$ ensembles $E_1,\dots,E_n$, eh bien, c'est pareil : la $k$-ième projection est l'application qui à toute $n$-liste $(x_1,\dots,x_n)\in E_1\times\cdots E_n$ associe $x_k$.