Théorème de Zippel

Que dit exactement le théorème de Lippel en une variable ? Les solutions (avec un s) $x$ de $\phi(x) = 0$ habitent où ? On a l'impression que tu dis que le nombre de racines d'un polynôme (à coefficients dans $\Z_p$ qui est intègre), prises dans un surcorps de $\Z_p$ ??, est inférieur ou égal au degré du polynôme. Je dois avoir mal compris ?

Tu veux généraliser à plusieurs variables un résultat dont tu n'es pas sûr à une variable ?

Tu as déjà réfléchi vaguement à la nature des solutions de $\phi(x,y) = 0$ en deux variables ?

Pour un polynôme en une indéterminée, peut-être qu'un énoncé précis serait bienvenu, non ? Combien de racines le polynôme $X^2 - 1$, vu comme un polynôme à coefficients dans $\Z/8\Z$, a-t-il de racines dans $\Z/8\Z$ ?

Et en deux variables, considérons le polynôme $f(X,Y) = X-Y$, à coefficients là où tu voudras. Quelles sont ses racines dans là-où-tu-voudras ? Combien ?

$\def\Z{\mathbb Z}\def\F{\mathbb F}$@Jaccuzzi
J'aime bien les énoncés précis avec un contexte précis. Pendant un moment, j'ai cru que $\Z_p$ désignait l'anneau des entiers $p$-adiques ; alors qu'il désigne plutôt le corps à $p$ éléments. Oui, non ? A toi de préciser. Que l'on note assez souvent $\F_p$. Et je n'ai pas compris pourquoi quel était ce théorème de Lippel dont tu parles.

C'est quoi un énoncé précis avec un contexte précis ? Par exemple : soit $A$ un anneau commutatif intègre, $S \subset A$ une partie finie de cardinal $s$ et enfin $F \in A[X_1, \cdots, X_n]$ un polynôme non nul en $n$ variables de degré (total) $\le d$. Alors :
$$
\#\left( \text{Zéros}(F) \cap S^n\right) \le d\, s^{n-1}
$$
Référence : Von Zur Gathen, Modern Computer Algebra, lemma 6.44 pages 165-166.

Arg. Il s'agit de Zipell et pas de Lipell. Richard Zipell, celui qui a écrit ``Effective Polynomial Computation''. https://www.springer.com/gb/book/9780792393757
Dans les notes à la fin de son chapitre 6, voici ce que disent Von Zur Gathen & Gerhard (il y a deux auteurs pour Modern Computer Algebra, je n'ai mentionné que le premier dans mon post).
Lemma 6.44 celui que je t'ai cité was discovered independently by DeMillo & Lipton (1978), Zipell (1979) and Schwartz (1980).
Si bien qu'ils n'attribuent pas de nom à ce lemme 6.44.

À l'avenir, essaies d'être plus précis dans tes demandes. Cela évite une perte de temps pour ceux qui veulent t'aider. Note qu'à chaque fois, tu n'as pas répondu à ma question ``c'est quoi le théorème de Lippel ?''. Pas étonnant, il n'existe pas.