Matrice et groupe

Nounouvch
Nounouvch
dans Algèbre
Salut, je faisais paisiblement cet exercice de rafraîchissement de mémoire sur les groupes quand j'au lu la remarque vers la fin, je ne comprends pas comment on a fait pour construire cette matrice ni comment ceci peut faciliter les choses,merci de m'éclaircir.80014
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Réponses

  • Crapul
    Crapul
    As-tu essayé de multiplier deux telles matrices ?
  • Poirot
    Poirot
    Cette remarque veut juste dire que ton groupe $(G, *)$ est isomorphe au groupe $$\{ M = \begin{pmatrix} x&y\\0&1\end{pmatrix} \mid x \in \mathbb R^*, y \in \mathbb R \}$$ muni de la multiplication des matrices.

    Il est difficile de le deviner comme ça, et c'est bien ce qui est écrit dans la remarque "encore faut-il le voir".
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Et pour le choix de cette matrice? Ce n'est pas arbitraire non?
  • Poirot
    Poirot
    Bah non ce n'est pas arbitraire, c'est pour que ça fonctionne... Comme l'a dit Crapul tu devrais essayer de calculer le produit $$\begin{pmatrix} x&y\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'&y'\\0&1\end{pmatrix}.$$
  • Nounouvch
    Nounouvch
    J'obtient la formule de mon groupe,j'ai essayé de voir d'où viens les $(0,1)$ dans la deuxième ligne de la matrice en procédant ainsi:
    $(xx', xy'+y)$=
    $x(1,1);x'(1,0),y'(0;1);y(0;1)$
    Encore du mal à la rédiger soigneusement mais est ce que c'est une piste?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Sans parler matrices, on peut aussi reconnaître le groupe des transformations affines de $\mathbb R$, c.-à-d. les transformations de la forme $t\mapsto xt+y$. C'est un sous-groupe du groupe des permutations de $\mathbb R$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    @GBZM je ne comprends pas
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Les bijections de $\mathbb R$ sur lui-même forment un groupe pour la composition (le groupe des permutations de $\mathbb R$). D'accord ?

    Les bijections de la forme $t\mapsto xt+y$ avec $x\in \mathbb R^*$ et $y\in \mathbb R$ en forment un sous-groupe (vérifier).

    Ce sous-groupe est isomorphe à ton groupe $G$ (vérifier).
  • Nounouvch
    Nounouvch
    C'est grave si je n'ai pas remarqué?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ce n'est pas un problème que tu ne l'aies pas remarqué. Ça me saute aux yeux parce que j'en ai l'habitude.
    Mais est-ce que tu comprends ce que j'ai écrit ?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Théoriquement oui, mais j'ai le même problème avec les 2 méthodes proposée: C'est au niveau de la construction.
    Par exemple pourquoi choisir exactement $t\mapsto xt+y$ et pourquoi choisir avec précision la matrice
    $\Big\{ M = \begin{pmatrix} x&y\\0&1\end{pmatrix} \mid x \in \mathbb R^*,\ y \in \mathbb R \Big\}$ avec 0 et 1 en dernière ligne ?
    D'une autre manière, comment exploiter par exemple la forme qui m'est donnée dans cet exercice pour aboutir à ces deux résultats ?
  • Poirot
    Poirot
    Justement, c'est difficile à deviner en première approche. Comme le dit GBZM, c'est parce qu'il a déjà vu ce lien, mais on n'attend pas de toi de la deviner !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Dans l'exercice tel qu'il est posé, personne ne te demande de deviner l'une ou l'autre des interprétations (qui sont d'ailleurs liées). Tu peux résoudre l'exercice sans remarquer l'isomorphisme avec un groupe de matrices ou avec le groupe des transformations affines. Il y a juste à vérifier l'associativité, l'existence d'un élément neutre et l'existence d'un inverse pour tout élément.

    La personne qui a posé l'exercice connaît bien sûr ces interprétations (c'est classique). C'est le type d'exercice qu'on peut résoudre un peu laborieusement quand on ne connaît pas le truc qui le rend à peu près immédiat (et qu'on n'est pas censé connaître). Il y a pas mal d'exercices taupinaux de ce type.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    D'accord merci, je vais essayer de chercher des exercices similaires alors
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