Théorie des anneaux

Bonjour,
Qu'as-tu essayé et où es-tu bloqué ? Pour la première question, appliquer la définition d'un sous-anneau devrait suffire.

Pour la première question, il suffit de vérifier que les conditions qui définissent un sous-anneau sont remplies : les connais-tu ? les comprends-tu ?

Pour la deuxième question, il suffit de vérifier que les conditions qui définissent un morphisme d'anneaux sont remplies : les connais-tu ? les comprends-tu ?

Pour la troisième question, il suffit de vérifier que $x\varphi(x)$ est un entier pour tout $x$ de $A$ : pour cela, il suffit de choisir un élément $x$ de $A$, de l'écrire sous la forme $x=m+n\sqrt{6}$ avec $m$ et $n$ entiers et de simplifier l'expression de $x\varphi(x)$ (chapitre « identités remarquables », fin de collège ?). Puis de vérifier que si on prend un deuxième élément $x'$, alors $N(xx')=N(x)N(x')$ : c'est immédiat en utilisant la question précédente.

Pour la quatrième question, on veut montrer une équivalence. On commence par le sens « $\Rightarrow$ ». Pour cela, on choisit $x$ inversible : cela signifie qu'il existe $x'$ tel que... On applique $N$ (que faire d'autre ?) et alors... Pour la réciproque, on choisit $x$ tel que $N(x)=\pm1$. En revenant à la définition de $N$, cela donne immédiatement un inverse pour $x$, c'est pas beau ?

La dernière question est une application numérique.