Sous-groupes de $(\mathbb{R},+)$

Nounouvch
Nounouvch
dans Algèbre
Salut, dans un exercice il m'est demandé de montrer que les sous-groupes de $(\mathbb{R},+)$ sont de la forme $\alpha \mathbb{Z}$ où $\alpha \in \mathbb{R}^{+}$ ou denses dans $\mathbb{R}$.
Je n'ai pas encore réfléchi mais le mot densité me pose problème car même dans mon cours de sup cette notion reste incompréhensible pour moi, existe-t-il des liens sur le site qui traitent ce sujet de densité pour le prendre comme support ? Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Un sous-ensemble $A$ de $\mathbb R$ est dit dense dans $\mathbb R$ quand pour tous $a,b$ de $\mathbb R$ avec $a<b$, il existe $c\in A$ tel que $a<c<b$.

    Exercice : soit $G$ un sous-groupe du groupe additif de $\mathbb R$. Alors $G$ est dense dans $\mathbb R$ si et seulement si pour tout réel $\epsilon >0$, il existe $g\in G$ tel que $0<g<\epsilon$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    @GBZM
    Merci pour l'exercice je vais faire une rédaction complète, j'espère que tu me corrigeras après :-)
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Le groupe additif renvoie à $(\mathbb{R},+)$?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Qu'est-ce que le "groupe additif de $\mathbb R$" pourrait être d'autre ?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    @GBZM voici ma tentative de démonstration
    Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$.
    P    our montrer la première inclusion j'ai utilisé le fait que $G\cap \mathbb{N}^{\star }\neq 0$ donc ce sera une partie de $\mathbb{N}^{\star }$ et puisqu'elle n'est pas vide (contient 0) elle admet un plus petit élément qui sera 0 et donc pour tout $g$ de $G$ on aura $0< g$
    Pour la seconde partie j'ai essayé de montrer que $\varepsilon $ est la borne supérieur de $G$
    Supposons qu'il existe un $\varepsilon ' $ tel que $\varepsilon '< \varepsilon $ puisque $\varepsilon ' $ est un majorant on aura $ \varepsilon ' < \varepsilon '$ et -g(l'opposé de g) aussi c'est à dire $-g< \varepsilon '$ donc $g-g< \epsilon '-\epsilon $ donc $0< \epsilon '-\epsilon $ d'où $\epsilon < \epsilon '$ contradiction.
    Juste ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Voyons les choses en face, ce que tu écris n'a ni queue ni tête.
    Dès la première ligne :
    "la première inclusion" où ça une inclusion ?
    $G\cap \mathbb{N}^{\star }\neq 0$ de quoi ?
    et ça continue tout du long ...
  • Amathoué
    Amathoué
    Quelle pagaille!

    Alors, tu te proposes de montrer qu'un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ est dense ou discret.
    Tu veux donc montrer qu'il est dense si et seulement s'il n'est pas discret.

    @GBZM te suggère de montrer qu'un sous-groupe additif $G$ est dense si et seulement si pour tout $\varepsilon >0$ ,l'intervalle ouvert $]0,\varepsilon[$ contient un élément de $G$.

    Compléter les amorces suivantes:

    Condition nécessaire :
    Supposons que $G$ soit dense dans $\mathbb{R}$ et soit $\varepsilon >0$. Par définition de la densité...

    Condition suffisante :
    Supposons que pour tout $\varepsilon >0$, l'intervalle ouvert $]0,\varepsilon[$ contienne un élément de $G$. Montrons que $G$ est dense.
    Soient alors $a,b$ deux réels tels que $a<b$...


    On a démontré que...



    Maintenant, je te donne la définition d'un sous-ensemble discret de $\mathbb{R}$ (comme @GBZM qui t'a donné celle d'un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ dense dans $\mathbb{R}$):
    Un sous-ensemble $A$ de $\mathbb{R}$ est dit discret si pour tout $a \in A$, il existe un intervalle ouvert contenant $a$ qui ne contienne aucun autre élément de $A$.

    Peux-tu terminer?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Est-ce que ceci servira pour l'exercice que @GBZM m'a proposé de faire ou pour mon exercice que j'ai posé en premier lieu ?
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Bonsoir,
    La réponse est dans l'énoncé : $\alpha$ ne peut être que la borne inférieure des éléments strictement positifs de $G$
    si c'est un minimum alors $G=\alpha \Z$ sinon $G$ dense
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Merci @ Said Fubini
    @GBZM, $G\cap \mathbb{N}^{\star }\neq 0$ on l'a utilisé pour une démonstration et je ne l'avais pas compris du coups je l'ai incrusté de force ici, cela t'ennuierai de dire ce que cette écriture en fait?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Désolé, je ne comprends pas ce que tu écris. Et j'ai la forte impression que tu ne le comprends pas non plus.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Exercice : tout sous-groupe de $(\Z,+)$ est de la forme $n\Z$
    Soit $H$ un sous-groupe de $ (\Z,+)$
    Lors de la démonstration, dans mon cours il y a :
    pour le cas où $H$ est différent de 0
    On a posé $H\cap \mathbb{N}^{\star }\neq 0$ pour montrer qu'elle admet un plus petit élément (c'est ce que j'ai utilisé aussi)
    Ma question est la suivante : quand est-ce qu'on utilise cette propriété ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tous les éléments d'un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ sont entiers. Penses-tu que c'est le cas pour un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ ?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Non j'avais fait la remarque mais puisque j'étais à court d'idées je l'ai utilisé quand même (ce qui est bête) !
    Je pense que je n'ai qu'à relire cette discussion pour essayer d'écrire quelque chose de compréhensible cette fois.
  • Amathoué
    Amathoué
    @Nounouvch, on dirait que tu fais de la cuisine. Pourquoi pas...mais ne mélange pas tous les ingrédients...
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