Fonction polynomiale

Ce que tu dois trouver, c'est la fonction polynomiale de degré $1$. Ton problème, c'est que tu ne sais pas dire quoi que ce soit parce que tes objets ne sont pas nommés, si bien que tu ne peux pas écrire quelque formule que ce soit.

Il faut donc nommer les objets. Qu'est-ce qu'on te donne ? Une fonction polynomiale. Nommons-la : $P$.
Qu'est-ce que tu cherches ? Une fonction polynomiale de degré $1$ et une fonction polynomiale telle que bla bla. La deuxième est nommée, c'est $Q$. La première n'est pas nommée, nommons-la : $A$ (comme affine). On suppose qu'elle existe.

On veut exprimer que $A$ est de degré au plus $1$ : comment ça s'écrit ? Ça veut dire que presque tous les coefficients de $A$ sont nuls. Plus précisément, tous sont nuls sauf... sauf combien et lesquels au fait ? Eh bien, nomme-les.

On veut dire ensuite que la fonction de départ soit la somme des deux qu'on cherche : comment ça s'écrit ? Indication : ça commence par « pour tout $x$, on a : ».

Ensuite, on a deux conditions portant sur les valeurs ou les dérivées de $Q$ en $1$ et en $0$. Grâce à la relation que tu viens d'écrire, qu'est-ce que ça impose sur notre fonction $A$ ?

Tiens, c'est chouette, les conditions que tu viens d'écrire déterminent tous les coefficients de $A$ ! Ça veut dire que si $A$ existe, elle est unique et en plus, ça te donne un candidat. Alors on renverse le raisonnement (synthèse).

Pour tout $x$, on pose $A(x)=\cdots$ (complète par ce que tu viens de trouver) et $Q(x)=\cdots$ (c'est évident ce qu'il faut mettre ici pour que $P$ soit la somme des deux autres ! Non ?). Alors on a bien : $Q(1)=0$ parce que... et $Q'(0)=0$ parce que... Le couple $(A,Q)$ que l'on vient de définir fonctionne bien.

C'est ça – il faudrait ajouter des « quel que soit $x$ » ici ou là mais passons.

Si $P$ est connu et que $a=P'(0)$, alors $a$ est connu, non ? Si $P$ est connu et $a$ est connu et $P(1)=a+b$, alors $b$ est connu, non ? Donc $A$, qui ne dépend que de $a$ et $b$, est connu (uniquement déterminé). Donc $Q$ aussi, non ?

Pour l'existence, on pose $A(x)=ax+b$ où $a=\cdots$, $b=\cdots$ et $Q(x)=\cdots$. Alors ça marche.

Ah....pardon @Math Coss

Oui, bien sûr, l'unicité de $A$ ne vaut qu'une fois qu'on s'est donné $P$.

La question est de même nature que la suivante : étant donné un nombre réel $p$ compris entre $0$ et $1$, montrer qu'il existe un unique nombre réel $q$ compris entre $0$ et $1$ dont le premier chiffre vaut $1$ et le deuxième chiffre vaut $0$ et un nombre réel $a$ dont toutes les décimales sont nulles à partir de la troisième tels que $p=a+q$. Si ça existe, c'est unique parce que si $p$ s'écrit $0{,}bcdefgh\cdots$ alors $q=0{,}10defgh\cdots$ et $a=p-q=0{,}bc-0,10$ (c'est toujours un nombre avec 2 chiffres après la virgule au maximum mais il peut être négatif). Mais $a$ et $q$ dépendent évidemment de $p$.

Je trouve qu'il manque des mots-clés et que tu n'explicites pas assez les deux étapes de la démonstration (unicité et existence). Surtout, tu ne vérifies pas qu'après avoir défini $A$ et $Q$ en posant ceci-cela, ils conviennent.
Plutôt que pinailler ligne à ligne, voici comment je rédigerais (de façon aussi proche que possible de ce que tu as écrit).

Soit $P$ une fonction polynomiale. On suppose que $P$ s'écrit comme somme $P = A + Q$ avec $A$ une fonction polynomiale de degré au plus $1$ et $Q$ une fonction polynomiale telle que $Q(1)=0$ et $Q'(0)=0$.
Pour tout $x$, on a donc $P(x) = ax + bx + Q(x)$ (avec $a,b\in\R$ constants).
Or, on sait que $Q(1)=0$ et $P(1) = a+b+Q(1)$ donc $P(1)=a+b$.
D'autre part, on sait que $Q'(0)=0$ et $P'(x)=A'(x)+Q'(x)$ et $A'(x)=a$ donc $P'(0)=a$.
DONC $a=P'(0)$ et $b=P(1)-a$ et $Q(x) = P(x)-ax-b$ pour tout $x$, ce qui prouve l'unicité de $A$ et $Q$.

Inversement, donnons-nous $P$ et déterminons $A$ et $Q$ convenables.
On pose $a=P'(0)$, $b=P(1)-a$ et, pour tout $x$, $A(x)=ax+b$ et $Q(x)=P(x)-A(x)$.
Alors $A$ est de degré au plus $1$ et $Q(1)=P(1)-a-b=0$ et $Q'(0)=P'(0)-A'(0)=P'(0)-a=0$.
DONC le couple $(A,Q)$ que nous avons défini répond à la question.