Idéal et système d'équations
Bonjour,
Je vous remercie vraiment tous pour votre aide (en particulier Claude...je vais essayer d'être précis !) et je vous soumets une nouvelle question.
On considère le système de 3 équations non-linéaires définies sur 5 variables $(X_1,X_2,X_3,S,T)$ suivant:
$a_{i1}SX_i+a_{i2}TX_i+a_{i3}S+a_{i4}T+a_{i5}X_i+a_{i6}=0$ pour $i=1,2,3$
Je cherche à éliminer $S,T$ pour obtenir des équations entre $X_1,X_2,X_3$. Une façon de faire, est d'exprimer $S$ et $T$ en fonction de $X_1,X_2$ en considérant les 2 premières équations comme linéaires en $S$ et $T$ et d'injecter ces expressions dans la 3ème équation. On obtient une équation de la forme $\phi(X_1,X_2,X_3)=0$ avec $\phi$ de la forme
$$\phi(X_1,X_2,X_3)=\sum_{(e_1,e_2,e_3)\in \{0,1\}^n} a_{e_1,e_2,e_3}X_1^{e_1}X_2^{e_2}X_3^{e_3}$$
Je pense avoir montré que pour toute équation $\psi(X_1,X_2,X_3)=0$ déduite du système, $\psi$ est un multiple de $\phi$. Je me demandais comment étendre ceci lorsque j'ajoute des équations au système. Par exemple ajoutons l'équation
$$a_{41}SX_4+a_{42}TX_4+a_{43}S+a_{44}T+a_{45}X_4+a_{46}=0$$
J'appelle $\phi_{\{1,2,3\}}$ le polynôme obtenu précédent (qui considère les équations 1,2,3). Je peux construire de la même façon les polynômes $\phi_{\{1,2,4\}}$, $\phi_{\{1,3,4\}}$ et $\phi_{\{2,3,4\}}$ (4 façons de choisir 3 équations). Je me demandais si pour toute équation $\psi(X_1,X_2,X_3,X_4)=0$ que l'on pouvait déduire du système on peut montrer que $\psi$ appartient à l'idéal engendré par $\phi_{\{1,2,3\}}$, $\phi_{\{1,2,4\}}$, $\phi_{\{1,3,4\}}$ et $\phi_{\{2,3,4\}}$
En espérant que cette question vous inspire, merci à vous
Je vous remercie vraiment tous pour votre aide (en particulier Claude...je vais essayer d'être précis !) et je vous soumets une nouvelle question.
On considère le système de 3 équations non-linéaires définies sur 5 variables $(X_1,X_2,X_3,S,T)$ suivant:
$a_{i1}SX_i+a_{i2}TX_i+a_{i3}S+a_{i4}T+a_{i5}X_i+a_{i6}=0$ pour $i=1,2,3$
Je cherche à éliminer $S,T$ pour obtenir des équations entre $X_1,X_2,X_3$. Une façon de faire, est d'exprimer $S$ et $T$ en fonction de $X_1,X_2$ en considérant les 2 premières équations comme linéaires en $S$ et $T$ et d'injecter ces expressions dans la 3ème équation. On obtient une équation de la forme $\phi(X_1,X_2,X_3)=0$ avec $\phi$ de la forme
$$\phi(X_1,X_2,X_3)=\sum_{(e_1,e_2,e_3)\in \{0,1\}^n} a_{e_1,e_2,e_3}X_1^{e_1}X_2^{e_2}X_3^{e_3}$$
Je pense avoir montré que pour toute équation $\psi(X_1,X_2,X_3)=0$ déduite du système, $\psi$ est un multiple de $\phi$. Je me demandais comment étendre ceci lorsque j'ajoute des équations au système. Par exemple ajoutons l'équation
$$a_{41}SX_4+a_{42}TX_4+a_{43}S+a_{44}T+a_{45}X_4+a_{46}=0$$
J'appelle $\phi_{\{1,2,3\}}$ le polynôme obtenu précédent (qui considère les équations 1,2,3). Je peux construire de la même façon les polynômes $\phi_{\{1,2,4\}}$, $\phi_{\{1,3,4\}}$ et $\phi_{\{2,3,4\}}$ (4 façons de choisir 3 équations). Je me demandais si pour toute équation $\psi(X_1,X_2,X_3,X_4)=0$ que l'on pouvait déduire du système on peut montrer que $\psi$ appartient à l'idéal engendré par $\phi_{\{1,2,3\}}$, $\phi_{\{1,2,4\}}$, $\phi_{\{1,3,4\}}$ et $\phi_{\{2,3,4\}}$
En espérant que cette question vous inspire, merci à vous
Réponses
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Je vais reformuler pour essayer d’être plus précis (je demande l'indulgence du jury)
Voilà, on considère le système de 4 équations (définies dans un corps $K$) non-linéaires définies sur 6 variables $(X_1,X_2,X_3,X_4,S,T)$ suivant:
$a_{i1}SX_i+a_{i2}TX_i+a_{i3}S+a_{i4}T+a_{i5}X_i+a_{i6}=0$ pour $i=1,2,3,4$
J'appelle $E\subset K^6$ l'ensemble de solution de ce système et $X$ l'ensemble défini par $$ X=\big\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in K^4\mid \exists (s,t)\in K^2,\ (x_1,x_2,x_3,x_4,s,t)\in E\big\}
$$ Je considère l'ensemble $I$ des polynômes de $\phi\in K[X_1,X_2,X_3,X_4]$ tels que $X$ soit inclus dans l'ensemble des solutions de l'équation $\phi(x_1,x_2,x_3,x_4)=0$.
Si je ne me trompe pas, $I$ est un idéal. Que peut-on dire sur cet idéal ? En particulier est-ce que cet idéal est engendré par les polynômes $\phi_{\{1,2,3\}}$, $\phi_{\{1,2,4\}}$, $\phi_{\{1,3,4\}}$ et $\phi_{\{2,3,4\}}$ évoqués plus haut ? -
J'ai la flemme de regarder plus avant ce que tu racontes, mais si $I\subset K[X_1,X_2,X_3,X_4,S,T]$ est l'idéal engendré par ton système d'équation, alors un bon système de calcul formel doit savoir calculer l'idéal d'élimination $I\cap K[X_1,X_2,X_3,X_4]$ (à coup de base de Groebner pour un ordre adéquat).
C'est peut-être à côté de ta plaque. -
Merci a toi!
Non c'est pas a cote de ma plaque
Mais en fait je ne veux pas utiliser des outils de calculs formels (meme si je vais le faire sur cet exemple) mais j'ai besoin d'arguments plus theoriques que je pourrais reutiliser sur des systemes de meme forme mais plus gros!
Bonne soiree a toi -
Je vais essayer d'élargir la question. Plaçons, nous dans un corps $K$. Pour un polynôme $\phi$ donné, on notera $S(\phi)$ l'ensemble des solution de l'équation $\phi(x_1,\ldots,x_t)=0$
Supposons que l'on dispose d'un système d'équations à $m+t$ variables. $X_1,\ldots,X_t,Y_1,\ldots,Y_m$. J'appelle $E$ l'ensemble des solutions de ce système. Soit $X$ l'ensemble défini par $X=\big\{(x_1,\ldots,x_t)\in K^t\mid \exists (y_1,\ldots,y_m)\in K^m,\ (x_1,\ldots,x_t,y_1,\ldots,y_m)\in E\big\}$.
L'ensemble des polynômes $\phi\in K[X_1,\ldots,X_t]$ tels que $X\subseteq S(\phi)$ est un idéal que l'on notera $I$.
Supposons que je sache que $I$ ne contient pas de polynômes de degré strictement inférieur à $d$. Supposons que je connaisse $r$ polynômes $\phi_1,\ldots,\phi_r$ appartenant à $I$ de degré $d$ tel que$X=S(\phi_1)\cap\cdots\cap S(\phi_r)$.
Peut-on dire que $I$ est engendré par $\phi_1,\ldots,\phi_r$ ? -
Bonjour,
Je me pose une question dont la réponse est peut-être évidemment oui
Plaçons , nous dans un corps $K$. Soit un système d'équations $p_1(X_1,\ldots,X_t)=0,\ldots,p_r(X_1,\ldots,X_t)=0$. J'appelle $E$ l'ensemble des solutions de ce système. L'ensemble des polynômes $p\in K[X_1,\ldots,X_t]$ tels que $E\subseteq \{x\in K^t\mid p(x)=0\}$ est un idéal que l'on notera $I$. Est-ce que $I$ est engendré par $p_1,\ldots,p_r$ ?
[Restons dans la discussion que tu as déjà ouverte. AD] -
La réponse est non en général, et c'est une question très intéressante; qui est au fondement de la géométrie algébrique.
Ton $E$ décrit un ensemble algébrique (un cercle, une courbe elliptique par exemple) et tu veux savoir si on peut, à partir de cet ensemble, déterminer le système d'équations (à idéal près). Prends par exemple $K=\R$, et $p= x^2 + y^2$. Alors $E=\{(0,0)\}$. Donc par exemple, $x^4+y^4$ est dans l'idéal $I$; pour autant il n'est pas divisible par $x^2+y^2$ . -
Et pour aller un petit peu plus loin que Maxtimax, le théorème fondamental dans l'étude de cette question est le Nullstellensatz (ou théorème des zéros) de Hilbert : si $K$ est algébriquement clos, alors ton $I$ est le radical de l'idéal engendré par $p_1, \dots, p_r$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments dont une puissance est dans $\langle p_1, \dots, p_r \rangle$.
-
Ah oui...merci...ca bouscule mes intuitions
Mais on pourrait utiliser un logiciel de calcul formel pour savoir si $I$ est engendré par $p_1,...,p_r$?
Sinon, $I$ est généré par un nombre fini de polynomes $q_1,...,q_s$. Est-ce que l'ensemble de solutions des systemes d'équations associés aux polynomes $p_1,...,p_r$ et $q_1,...,q_s$ sont égaux? -
Pour ta première question : Ça dépend du corps $K$, bien entendu.
Comme l'a dit Poirot, pour un corps algébriquement, l'idéal des polynômes qui s'annulent sur l'ensemble des zéros communs des polynômes de l'idéal $J$ est le radical $\sqrt J$ de $J$. Les logiciels de calcul formel savent calculer le radical d'un idéal, et savent dire si un idéal est radical.
Sur un corps non algébriquement clos, bof. Sur $\mathbb R$ par exemple on a la notion de radical réel, mais ce n'est pas standard pour les logiciels de calcul formel.
J'ai peur de ne pas bien comprendre ta deuxième question.
Si tu pars d'un idéal $J\subset K[X_1,\ldots,X_n]$ (ou d'un ensemble de polynômes), tu as l'ensemble $\mathcal V(J)\subset K^n$ de ses zéros.
Si tu pars d'un sous-ensemble $X\subset K^n$, tu as l'idéal $\mathcal I(X)\subset K[X_1,\ldots,X_n]$ des polynômes nuls sur $X$.
Tui demandes si $\mathcal V(\mathcal I(\mathcal V(J)))$ est égal à $\mathcal V(J)$ ? Tu peux le démontrer toi-même en utilisant des propriétés évidente de $\mathcal V$ et $\mathcal I$. -
merci...
Alors pour moi $K=\mathbb{Z}/p{Z}$....donc plutot non pour l'utilisation de logiciels de calcul formel!
Sinon pour ma seconde question, d'apres ta reponse ca doit etre evidemment oui
Mais je la precise quand meme avec tes notations
Soit $q_1,...,q_s$ une famille de polynomes génératrice de $\mathcal{I}(X)$. Forcément $X$ est l'ensemble de solutions du système $q_1(x_1,...,x_n)=0$,...,$q_s(x_1,...,x_n)=0$? -
Tu demandes si $\mathcal V(\mathcal I(X))=X$. Aucune raison en général. Par contre, peux-tu me dire quelle relation on a toujours entre $\mathcal V(\mathcal I(X))$ et $X$ ?
Maintenant, tu dis que tu es sur un corps fini $K$.
Peux-tu alors démontrer que, pour tout $X\subset K^n$, il existe un idéal $J$ de $K[X_1,\ldots,X_n]$ tel que $X=\mathcal V(J)$ ?
Peux-tu en déduire que $\mathcal V(\mathcal I(X))=X$ ? -
Oui $X$ est inclus dans $\mathcal{V}(\mathcal{I}(X))$.
et oui pour la troisieme question car $\mathcal{J}\subseteq(\mathcal{I}(X))$?....et pas sur du tout pour la deuxieme -
Qui est $\mathcal J$ ? Tu voulais écrire $J$ ?
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Sinon je crois que j'ai reussi a formaliser la question qui me turlupine vraiment (en esperant ne pas dire n'importe quoi)
Soit un systeme d'équations $p_i(X_1,...,X_t,Y_1,...,Y_r)=0$ pour $i=1$ à $m$
J'appelle $S$ l'ensemble de ces solutions et $X=\{x\in K^t|\exists y\in K^r, (x,y)\in S\}$.
J'ai bien compris que $\mathcal{I}(S)$ n'est pas égal, en général, à l'idéal $J=<p_1,...,p_m>$.
Je considère l'idéal $L=J\cap K[X_1,...,X_t]$. Supposons que je connaisse $s$ polynomes $q_1,...,q_s$ de $L$ tel que l'ensemble des solutions du système d'équations engendré par ces polynomes soit $X$, i.e. $\mathcal{V}(<q_1,...,q_s>)=X$. Puis en déduire que $q_1,...,q_s$ engendre $L$? -
Oui $J$ desole! J'ai bon?
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Petite remarque : on a $\mathcal{V}(\langle q_1^3, \cdots, q_s^{1951}\rangle) = \mathcal{V}(\langle q_1, \cdots, q_s\rangle)$, n'est ce pas ? Est ce que c'est bien raisonnable de vouloir que les $q_i$ engendrent un idéal dont j'ai oublié le nom. Note : j'ai mis des exposants au pif.
Puis je me permettre une petite suggestion ? -
Non ce n'est pas raisonnable... la suggestion serait que je réfléchisse avant de poster... oui je le fais mais pas assez apparemment
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Non, non, pas du tout. Je ne pensais pas à cela (je ne suis pas toujours ch.ant, enfin ...) mais à quelque chose de positif. Mais je suis timide. Je peux ?
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Oui oui bien sûr.
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Tu donnes l'impression de vouloir apprendre un peu (ou beaucoup) de géométrie algébrique. Peut-être qu'en plus de poster sur le forum, tu pourrais apprendre en lisant le Cox, Little & O'Shea (Ideals, Varieties and Algorithms). Tu connais cet ouvrage ? J'en pense le plus grand bien. Je n'arrive pas à pointer sur Springer mais je vois qu'ils en sont à leur quatrième édition en 2015 https://dacox.people.amherst.edu/iva.html. Bien sûr, ce n'est pas gratuit (moi, je ne tiens pas compte de cela, je suis un retraité de l'éducation nationale, donc pété de tunes).
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....ok je vais peut-être investir... moi j'ai un bouquin d’algèbre ([large]S[/large]erge [large]L[/large]ang) mais je ne prends pas le temps...
[Serge Lang (1927-2005) prend toujours une majuscule. AD] -
Ne mélangeons pas tout. Serge Lang, c'est Serge Lang. Des majuscules, quand même ? Tu peux jeter un oeil sur Cox, Little & O'Shea (on trouve des pdf sur le net). Tu verras peut-être la différence. Bien sûr, tu peux continuer à poster.
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Ok merci pour le conseil (je vais voir à la BU) et tes reponses!
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Bonjour à tous
Alors voici le résultat que je souhaiterais montrer.
Soient deux entiers $n\leq m$. Pour chaque $S=\{i_1,\ldots,i_n\}\subseteq\{1,\ldots,m\}$, on considère le polynôme $\phi_S$ défini par $\phi_S(X_1,\ldots,X_m)=\sum_{e\in \{0,1\}^n}a_{S,e}X_{i_1}^{e_1}\cdots X_{i_n}^{e_n}$ avec $a_{S,e}\neq 0$ pour tout $e\in \{0,1\}^n$. On considère l'idéal $I_n$ généré par la famille de polynômes $(\phi_S)_{S\subseteq\{1,\ldots,m\};\#S=n}$. chaque polynôme $\varphi\in I_n$ non-nul a au moins $2^n$ monômes.
Alors Poirot (merci à lui) a montré que c'etait vrai pour $m=n$. Je pense avoir montré que c'est vrai lorsque $a_{S,e}=1$ pour tout $S,e$ mais je bute sur le cas general. Qu'en pensez vous? (pas sur le fait que je bute...:))
Merci à vous.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
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