Sous-groupe engendré par une partie
Salut, dans mon cours j'ai une proposition appelée caractérisation dont l'énoncé est le suivant.
Soit $(G,.)$ un groupe et $A$ élément de $G$, le cas qui m'intéresse et celui où $A\neq 0$.
On note $A_{0} = A\cup A^{-1}
= A\cup \left \{ x^{-1} \mid x\in A \right \}$
Alors $\left \langle A \right \rangle=\left \{ x\mid \exists n\in \mathbb{N}^{\star },\ \exists (x_{1}\ldots x_{n})\in A_{0}^{n},\ x=\prod_{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\ldots x_{n}\right \}$
En gros je ne comprends pas pourquoi on a défini la multiplication comme loi ? Est-ce que cela a une relation avec l'union ? Et c'est quoi l'utilité de cette propriété ?
Merci.
Soit $(G,.)$ un groupe et $A$ élément de $G$, le cas qui m'intéresse et celui où $A\neq 0$.
On note $A_{0} = A\cup A^{-1}
= A\cup \left \{ x^{-1} \mid x\in A \right \}$
Alors $\left \langle A \right \rangle=\left \{ x\mid \exists n\in \mathbb{N}^{\star },\ \exists (x_{1}\ldots x_{n})\in A_{0}^{n},\ x=\prod_{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\ldots x_{n}\right \}$
En gros je ne comprends pas pourquoi on a défini la multiplication comme loi ? Est-ce que cela a une relation avec l'union ? Et c'est quoi l'utilité de cette propriété ?
Merci.
Réponses
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Déjà pour commencer, $A$ est un élément ou un sous-ensemble de $G$ ? Merci d'être précis et de bien recopier la prposition plutôt que de nous forcer à jouer aux devinettes !
Edit : c'est maintenant un peu plus clair.
En fait, l'auteur de ton cours a choisi de noter la loi du groupe comme une multiplication mais ça n'a rien à voir avec la multiplication de $\mathbb R$ et on aurait pu la noter par + ou T par exemple.
L'union n'a aussi aucun rapport avec la notation multiplicative.
Enfin, cette proposition permet de te montrer explicitement à quoi ressemble un élément quelconque du sous-groupe engendré par $A$ : c'est forcément un produit fini (aussi long que l'on veut, d'où le $n$ quelconque) d'éléments de $A$ et/ou** d'inverses d'éléments de $A$.
** d'où l'union -
Merci beaucoup! Pardon de ne pas avoir signalé ce qu'est $A$.
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J'essaie d'utiliser ce résultat dans cet exercice:
Soit $G$ un groupe fini et A une partie non vide et stable de $G$
Montrer que A est un sous groupe de $G$
J'ai procédé par absurde en supposant que si A ne l'est pas alors G sera infini
Puisque A n'est pas un sous groupe alors $\exists (x_{1},...x_{n})\in H , (x_{1},...x_{2})^{-1}\notin H$
Donc la propriété en dessus ne sera pas valide mais est ce que ceci me permettra de dire que G est infini? -
Ça ne marche pas, je te conseille de considérer un morphisme bijectif particulier. Je n'en dis pas plus pour le moment mais si vraiment tu n'y arrives pas je te dirai lequel choisir.
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Au fait cet exercice n'a rien à voir avec les sous-groupes engendrés par des parties si ça peut t'aider.
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Une question, comment un morphisme peut être lié à la notion de groupe ? Je veux dire on dit morphisme de groupes mais pourquoi me conseilles-tu de penser aux morphismes ?
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Eh bien en règle générale, quand tu fais des maths, tu te sers d'objets de la théorie que tu étudies pour répondre aux questions. Ici, on travaille sur les groupes ; donc il faut tout de suite penser à tout ce que tu connais sur les groupes : sous-groupes, ordres, Lagrange, morphisme et j'en passe! Encore une fois en général, quand tu étudies des structures algébriques (espace-vectoriel, groupes, anneaux etc...) les morphismes respectifs de ces structures te seront souvent d'une grande aide. Bon pour ce cas particulier, on utilise pas directement que c'est un morphisme, mais surtout le fait qu'il est bijectif.
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