Vous prendrez bien un p'tit polynôme ?

bisam
bisam
dans Algèbre
Bonjour,

Petit exercice de rentrée :

Soit K un corps et V un sous-espace vectoriel de K[X].
Montrer qu'il existe une base de V constituée de polynômes de degrés tous différents.

J'ai trouvé une méthode pour le cas où V est de dimension finie... mais elle ne s'adapte pas au cas où V est de dimension infinie.
J'ai donc trouvé une autre méthode pour ce cas... mais, même si la méthode est simple et pour ainsi dire naturelle, la démonstration correcte est une autre paire de manches.

Est-ce que vous avez des idées ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Soit $D$ l'ensemble des degrés des polynômes non nuls de $V$. Pour chaque $d\in D$, on choisit un polynôme $P_d$ de degré $d$ dans $V$. Alors la famille $(P_d)_{d\in D}$ est une base de $V$.
    Pour montrer que c'est une famille génératrice de $V$, on raisonne par récurrence sur le degré $k$ d'un polynôme de $V$, avec comme hypothèse de récurrence que tout polynôme de $V$ de degré $<k$ est combinaison linéaire des $P_d$.

    PS. Comme cela ressort de ce que j'ai écrit, aucun besoin de faire une distinction entre dimension finie et dimension infinie.
  • RyanTalbi
    RyanTalbi
    Bonjour. Je propose une réponse complètement différente de celle de GaBuZoMeu j'ignore si elle est correcte je n'ai pas son niveau.
    D'Après le Théorème de d'Alembert Gauss Tout Polynome de degré supérieur ou égal à 1 Peut se réécrire comme un produit de Polynomes de la forme (X-Lambda) Avec Lambda un Réel.


    Puisque V est un sous espace vectoriel de K[X] Alors V comprend le Polynome nul : 0 Et V est une base de V. Si V ne contient que des polynomes de degré au plus 1 Alors V est une base de V ( Par le Théorème d'Alembert Gauss ). Si V contient des polynomes de degré supérieur à 1 Prenons P : A(n)X^n+A(n-1)X^(n-1)...+A(1)X+A(0) Avec A(0) Une fonction qui décrit les coefficients associés à chaque puissance de la variable X. Alors P se réécrit comme produit de Polynomes de degrés 1 : P = (X-Lambda1) (X-Lambda2) (X-Lambda3) (X-Lambda4) (X-Lambda5).... (X-LambdaN)
    On commence par regrouper les termes entre eux :
    (X-Lambda1)(X^2-(Lambda2+Lambda3)X-Lambda2*Lambda3)(X-Lambda4) (X-Lambda5)(X-Lambda6)....
    (X-Lambda1)(X^2-(Lambda2+Lambda3)X-Lambda2*Lambda3)(X^3.... ).....(X-LambdaN)
    Au final il est clair que la propriété est vraie mais mon niveau de débutant ( L1 ) Ne me permet pas de finir j'espère que vous avez compris ce que j'ai voulu dire et que mon idée n'était pas trop nulle ^^
    Bonne Journée à tout le monde :P




    EDIT : La loi sur K[X] Est l'addition Polynomiale ce que j'ai écris est donc faux
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    RyanTalbi, désolé, mais ce que tu écris ne va pas du tout.
  • RyanTalbi
    RyanTalbi
    GaBuZoMeu
    Je sais je suis nul pour comprendre les choses :(
    Quel est le niveau de la question ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'exercice n'est pas très simple.
    Mais quand on voit que tu écris quelque chose comme "V est une base de V"', on se dit que tu es complètement passé à côté de la définition d'une base.
  • bisam
    bisam
    Merci GaBuZoMeu,

    C'est finalement exactement la méthode que j'avais utilisée pour la dimension infinie... mais je m'étais embêté à construire la base en précisant que l'on prenait comme polynôme $P_k$ un polynôme de degré minimal choisi dans $V\setminus vect(\{P_i,i<k\})$.

    Il fallait donc commencer par prouver que les polynômes choisis étaient bel et bien de degrés différents, puis montrer qu'ils engendraient $V$ par une méthode similaire à celle suggérée plus haut.

    Tel que tu l'as exprimé, l'argument use de l'axiome du choix, ce qui ne me gêne en rien, mais je pense que l'on peut s'en passer en choisissant (par exemple... et si je ne me trompe pas) l'unique polynôme $P_d\in V$ qui soit unitaire, de degré $d$, et dont la somme des modules des coefficients est minimale. Peut-être faut-il prendre une norme euclidienne pour s'assurer l'unicité... je n'ai pas tout rédigé.

    En tout cas, merci encore.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est au pire un choix dénombrable.
    Par contre, ton histoire de "l'unique polynôme $P_d\in V$ qui soit unitaire, de degré $d$, et dont la somme des modules des coefficients est minimale" me rend perplexe. Déjà, tu supposes que $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ? Ça me semble très réducteur ! Ensuite je ne suis pas persuadé de l'unicité au premier coup d'oeil.
  • dSP
    dSP
    Il y a une façon univoque de choisir les polynômes voulus sur un corps arbitraire.

    On note $D$ l'ensemble des degrés des éléments non nuls de $V$. Dans $V$ il y a, pour tout $d$ dans $D$, un unique polynôme unitaire de degré $d$ ayant tous ses coefficients nuls selon les monômes de la forme $X^k$ où $k \in D \setminus \{d\}$.
  • dSP
    dSP
    Avec les espaces quotients on a une démonstration rigolote de ce que j'avance : on pose $D':=\N \setminus D$, puis $F:=\mathrm{Vect}(X^k)_{k \in D'}$. Clairement $V$ et $F$ sont en somme directe. On note $\pi : K[X] \rightarrow K[X]/F$ la projection canonique, et on montre alors par récurrence que $\pi(V \cap K_n[X])=\pi(\K_n[X])$ pour tout $n \in \N$ (c'est le seul point technique).

    Par suite, $\pi$ induit un isomorphisme de $V$ sur $K[X]/F$ ; or une base de $K[X]/F$ est formée des classes des $X^d$ pour $d$ dans $D$. En relevant cette base via $\pi_{|V}$, on obtient une base de $V$ dont il n'est pas difficile de vérifier qu'elle a les propriétés que j'annonce.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une "forme échelonnée réduite" du sous-espace, effectivement. Ça me paraît plus satisfaisant.
  • L'Axone du Choix
    L'Axone du Choix
    On applique le lemme de Zorn à l'ensemble des familles libres de polynômes de $V$ de degrés distincts, ordonné par l'inclusion. On obtient un élément maximal $M$. Reste à montrer que c'est une base. Supposons le contraire. Soit $P \in V$ de degré minimal tq $P$ ne soit pas combinaison linéaire d'éléments de $M$. Par maximalité, $M$ contient donc un polynôme $Q$ de même degré. Sans perte de généralité, supposons pour simplifier l'écriture $P$ et $Q$ unitaires. Alors $P-Q$ est un polynôme de $V$, de degré strictement moindre. Par minimalité, celui-ci est donc à son tour combinaison linéaire d'éléments de $M$. Mais alors $P=(P-Q)+Q$ est combinaison linéaire d'éléments de $M$, contradiction.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'Axone du Choix a écrit:
    Par maximalité, $M$ contient donc un polynôme $Q$ de même degré
    C'est idiot, par maximalité $M$ contient $P$ (car sinon, en ajoutant $P$ à $M$ on aurait une famille libre plus grande).
    Ton raisonnement est complètement à côté de la plaque. Remarque que $(X^2, (X-1)^2, (X+1)^2)$ est une famille libre maximale dans l'espace des polynômes de $\mathbb R[X]$ de degré $\leq 2$, et qu'il n'y a dans cette famille que des polynômes de degré $2$..
  • L'Axone du Choix
    L'Axone du Choix
    Non, tu n'as pas compris ce que j'ai écris. Je ne considère pas l'ensemble des familles libres, mais bien l'ensemble des familles libres dont les éléments sont de degrés deux à deux distincts.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ah, au temps pour moi, j'avais zappé le "de degrés distincts". Mézalor il suffisait de dire "famille de polynômes de degrés distincts", puisqu'une telle famille est assez trivialement libre, et une telle famille maximale s'obtient évidemment en prenant un polynôme de $V$ de degré $d$ pour chaque $d\in D$ (voir mon message, le deuxième du fil). Et j'ai aussi écrit dans ce message comment démontrer qu'une telle famille est génératrice par récurrence sur le degré.
    Donc je retire que j'ai dit, ce n'est pas à côté de la plaque, mais c'est une version que je trouve inutilement compliquée de ce que j'ai écrit plus haut. (Bon, je suis méchant ;-).)
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