Théorème de factorisation, cas général

Homo Topi · September 2018

J'ai trouvé ici un énoncé du théorème de factorisation dans le cas général des ensembles, avec des idées de démonstration. J'ai envie de faire une démonstration sans l'axiome du choix et j'ai quelques questions.

Au passage, je n'utilise pas exactement les mêmes notations que Wikipédia, alors allons-y comme ça :

J'ai une application $f : A \longrightarrow B$, et une relation d'équivalence $\mathcal{R}$ sur $A$. La surjection canonique est notée $\pi : A \longrightarrow A / \mathcal{R}$.

Je veux montrer l'existence et l'unicité d'une application $\overline{f} : A/ \mathcal{R} \longrightarrow B$ telle que $f = \overline{f} \circ \pi$.

On définit une relation $\mathcal{S}$ entre $A/ \mathcal{R}$ et $B$ par : $\forall z \in A/ \mathcal{R}$, $\forall y \in B$, $z \mathcal{S} y \Longleftrightarrow \exists x \in A$, $(z = \pi(x)) \wedge (y = f(x))$.

On arrive assez rapidement à montrer que pour tout $z$, il existe un unique $y$ tel que $z \mathcal{S} y$, donc $S$ définit bien une application, celle qu'on va noter $\overline{f}$.

Simplement, voilà où je coince : par construction, j'ai l'impression que $\overline{f}(z)$ est égal à $f(x)$ où $x$ vérifie $z = \pi(x)$. Mais il y a potentiellement plusieurs $x$ différents tels que $\pi(x) = z$, donc, plein de $f(x)$ différents auxquels $\overline{f}(z)$ devrait être égal simultanément. En principe, $f = \overline{f} \circ \pi$ signifie que $\overline{f}(\overline{x}) = f(x)$ où j'ai noté $\overline{x} = \pi(x)$ la classe de $x$ modulo $\mathcal{R}$.

C'est exactement à cet endroit que, soit il faut choisir (invoquer l'axiome du choix) un $x$ spécifique, soit j'ai mal compris un truc et je me suis embrouillé en chemin. Je suis assez certain que c'est moi qui ai mal compris un truc... $\overline{f}$ envoie tout $z \in A/ \mathcal{R}$ sur l'unique $y \in B$ tel qu'il existe $x \in z$ tel que $f(x) = y$, sauf que ledit $y$ n'a aucune raison d'être unique je crois.

Bref. Help.

Homo Topi · September 2018

Je détaille comment montrer que $\mathcal{S}$ est bien une application : pour tout $z$, on veut montrer qu'il existe un $y$, et un seul, tel que $z \mathcal{S} y$.

Soit $z \in A/ \mathcal{S}$. Comme $\pi$ est surjective, il existe $x \in A$ tel que $z = \pi (x)$. Il reste à montrer qu'il existe un unique $y \in B$ tel que $y = f(x)$, ce qui est évident car $f$ est une application de $A$ dans $B$.

Donc pour tout $z$, il existe un unique $y$ tel qu'il existe $x$ qui vérifie à la fois $z = \pi(x)$ et $y = f(x)$.

Je ne pense pas avoir fait d'erreur ici...

GaBuZoMeu · September 2018

Si tu n'oubliais pas l'hypothèse fondamentale
$$\forall x\in A\ \forall y\in A\ (xRy \Rightarrow f(x)=f(y))$$ça serait mieux.

Ensuite, on définit
$$S=\{ (x,y) \in (A/R)\times B \mid \exists z\in A\ (\pi(z)=x \text{ et } f(z)=y)\}\;.$$
Aucun axiome du choix dans cette définition, on ne choisit rien, n'est-ce pas ?

Ensuite on démontre, en utilisant la définition du quotient $\pi : A\to A/R$ et l'hypothèse fondamentale que tu as oubliée,
$$\forall x\in A/R\ \exists ! y\in B\ (x,y)\in S\;,$$
c.-à-d. que $S$ est une fonction définie sur $A/R$ à valeurs dans $B$.

Rappel : une fonction $f$ définie sur $X$ à valeurs dans $Y$ est par définition un sous-ensemble $f\subset X\times Y$ vérifiant
$$\forall x\in X\ \exists ! y\in Y\ (x,y)\in f\;,$$
La notation $f(x)=y$ est une abréviation de $(x,y)\in f$. (réf : Krivine, Théorie axiomatique des ensembles).

Où vois-tu un axiome du choix dans l'histoire ?

Homo Topi · September 2018

J'ai cette hypothèse marquée sur mes brouillons, j'ai juste oublié de l'écrire ici. GaBu, tu aurais pu me dire ça un peu plus gentiment quand même...

Je n'avais effectivement pas vu à quel endroit il faut s'en servir.

$\overline{f}$ est définie de sorte à envoyer $z \in A/ \mathcal{R}$ sur l'unique $y \in B$ tel qu'il existe $x \in A$ qui vérifie simultanément $y = f(x)$ et $z = \pi(x)$.

Sauf que des $x$ tels que $z = \pi(x)$, il y en a potentiellement plusieurs, donc il y aurait plusieurs candidats potentiels pour $y$ (un pour chaque $x$ tel que $z = \pi(x)$), d'où l'impression que j'avais qu'il faut faire un choix. Mais tous les $x$ tels que $z = \pi(x)$ sont congrus modulo $\mathcal{R}$, donc leurs images par $f$ sont les mêmes, d'où l'unicité du $y$.