Le paresseux et le déterminant

Bonjour,
Je n'arrive pas vraiment a visualiser la matrice....
Mais si on considère le déterminant comme un polynôme en a,et en dérivant deux (trois) fois on se rendra compte que ce polynôme est de degré au plus 2. Il ne restera plus qu'a l’évaluer en deux points biens choisis.

Cordialement.

L'argument ci-dessous est faux en l'état parce qu'il ne tient pas compte de la parité de $p$.

Pour $M_{2p}$, les deux vecteurs indépendants de $a$ suivants sont dans le noyau de la matrice pour $a=1$ : \[e'_1=(1,0,-1,0,1,0,-1,\dots,0)\quad\text{et}\quad e'_2=(0,1,0,-1,\dots,0,\pm1).\] Ça doit suffire pour montrer que $(a-1)^2$ divise le déterminant mais voici un argument élémentaire. On a : $M_{2p}e'_1=(a-1)e_2$ et $M_{2p}e'_2=(a-1)e_1$ donc si on écrit la matrice de l'application linéaire associée à $M_{2p}$ dans la base canonique $(e_1,\dots,e_{2p})$ à l'arrivée et dans la base $(e'_1,e'_2,e_3,\dots)$ au départ, les deux premières colonnes sont nulles à part le mineur $\left(\begin{smallmatrix}0&a-1\\a-1&0\end{smallmatrix}\right)$ en haut.

Prenons désormais $a=0$. Si on développe la matrice $M_{2p}$ par rapport à la première colonne puis par rapport à la première ligne, on doit trouver une matrice connue... dont le déterminant vaut évidemment $1$. Sans doute...

P.
En fait, je ne comprends pas bien ce que tu veux. Méthode élégante pour un calcul dans un article ? Et pourquoi faire du Schur (je crois dans ton dernier post) ? Voici mon point de vue sur la combinatoire d'un résultat plus général. Je ne fournis aucune preuve car c'est fatiguant sur le forum. D'abord, en un premier temps, je m'intéresse à la FORME de la matrice, pas aux coefficients. C'est la matrice du graphe $n$-cycle standard $c = (1,2, \cdots,n)$.

[color=#000000]
> n := 7 ;
> G := PolygonGraph(n) ;
> AdjacencyMatrix(G) ; 
[0 1 0 0 0 0 1]
[1 0 1 0 0 0 0]
[0 1 0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0 1 0]
[0 0 0 0 1 0 1]
[1 0 0 0 0 1 0]
[/color]

Quelles sont les permutations zig-zag de cette matrice ? Si $n$ est impair, il y a deux, à savoir $c$ et $c^{-1}$, qui sont de signature 1 (car $n$ est impair). Si maintenant, je monte une matrice $A$ de cette forme i.e. si je remplace les 1 par des coefficients et ne touche pas aux 0, on obtient $\det(A) = a_c + a_{c^{-1}}$ où $a_\sigma$ est le produit $a_{\sigma(1),1} a_{\sigma(2),2} \cdots a_{\sigma(n),n}$.

[color=#000000]
> A := CycleMatrix(n) ;
> A ;
[  0 a12   0   0   0   0 a17]
[a21   0 a23   0   0   0   0]
[  0 a32   0 a34   0   0   0]
[  0   0 a43   0 a45   0   0]
[  0   0   0 a54   0 a56   0]
[  0   0   0   0 a65   0 a67]
[a71   0   0   0   0 a76   0]
> Det(A) ;
a12*a23*a34*a45*a56*a67*a71 + a17*a21*a32*a43*a54*a65*a76
[/color]

Si $n$ est pair, c'est un peu plus compliqué. Il y a 4 permutations zig-zag. Toujours $c$ et $c^{-1}$ qui sont maintenant de signature $-1$. Et il faut ajouter $t, t'$ qui sont les involutions correspondant aux deux couplages parfaits du $n$-cycle : $t = (1,2)(3,4) \cdots$ et $t' = (2,3)(4,5) \cdots$. Note : pour $t$, j'ai imposé $12$ dans le couplage et pour $t'$, j'ai imposé $23$. On a aussi que $t'$ est le conjugué de $c$ ou $c^-1$ dans le sens que l'on veut. Et $t,t'$ qui sont des produits de $n/2$ transpositions sont de signature $(-1)^{n / 2}$. Et si je monte une matrice $A$ de cette forme, on a:
$$
\det(A) = - (a_c + a_{c^{-1}}) + (-1)^{n/2} (a_t + a_{t'})
$$

[color=#000000]
> n := 8 ;
> G := PolygonGraph(n) ;
> AdjacencyMatrix(G) ; 
[0 1 0 0 0 0 0 1]
[1 0 1 0 0 0 0 0]
[0 1 0 1 0 0 0 0]
[0 0 1 0 1 0 0 0]
[0 0 0 1 0 1 0 0]
[0 0 0 0 1 0 1 0]
[0 0 0 0 0 1 0 1]
[1 0 0 0 0 0 1 0]
> ZigZagPermutations(AdjacencyMatrix(G)) ; 
[
    (1, 2)(3, 4)(5, 6)(7, 8),
    (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
    (1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2),
    (1, 8)(2, 3)(4, 5)(6, 7)
]
> A := CycleMatrix(n) ;
> A ;
[  0 a12   0   0   0   0   0 a18]
[a21   0 a23   0   0   0   0   0]
[  0 a32   0 a34   0   0   0   0]
[  0   0 a43   0 a45   0   0   0]
[  0   0   0 a54   0 a56   0   0]
[  0   0   0   0 a65   0 a67   0]
[  0   0   0   0   0 a76   0 a78]
[a81   0   0   0   0   0 a87   0]
> Det(A) ;
a12*a21*a34*a43*a56*a65*a78*a87 - a12*a23*a34*a45*a56*a67*a78*a81 - 
    a18*a21*a32*a43*a54*a65*a76*a87 + a18*a23*a32*a45*a54*a67*a76*a81
[/color]

PS : j'ai retrouvé d'autres notes liées aux permutations zig zag, en particulier sur les arbres. J'y retrouve des résultats de la section 3.6 Nonsingular trees de Bapat, en particulier que la matrice d'adjacence d'un arbre est inversible si et seulement si l'arbre admet un couplage parfait (auquel cas il est unique). Je n'ai aucune référence sur tout ce binz mais cela doit bien se trouver quelque part. J'avais ``inventé'' mes histoires de permutations zig zag dans le cadre de certains complexes simpliciaux.