Diagonalisation de matrice symétrique
Bonjour
Je cherche à obtenir les valeurs propres d'une matrice réelle $A, 3\times 3$ quelconque mais symétrique ; je pré-suppose qu'elle est implicitement diagonalisable.
La dernière fois que j'ai fait ça à la main c'était il y a plus de 20 ans :-D ; je suis dans le calcul du déterminant ( $\det(A - \lambda I$), puis celui des racines du polynôme de degré 3, mais je n'arrête pas de me dire qu'il doit y avoir plus simple ... ou pas.
En parallèle je regarde du côté des méthodes numériques trouvées sur la toile ; je suis également tombé sur le théorème spectral, mais cela ne réveille rien en moi.
Avez-vous des pistes à partager ? Assurément un grand classique de l'algèbre linéaire, mais je ne tombe que sur des exemples "numéraires", et non sur une matrice approche générale
Merci par avance
Paul
Je cherche à obtenir les valeurs propres d'une matrice réelle $A, 3\times 3$ quelconque mais symétrique ; je pré-suppose qu'elle est implicitement diagonalisable.
La dernière fois que j'ai fait ça à la main c'était il y a plus de 20 ans :-D ; je suis dans le calcul du déterminant ( $\det(A - \lambda I$), puis celui des racines du polynôme de degré 3, mais je n'arrête pas de me dire qu'il doit y avoir plus simple ... ou pas.
En parallèle je regarde du côté des méthodes numériques trouvées sur la toile ; je suis également tombé sur le théorème spectral, mais cela ne réveille rien en moi.
Avez-vous des pistes à partager ? Assurément un grand classique de l'algèbre linéaire, mais je ne tombe que sur des exemples "numéraires", et non sur une matrice approche générale
Merci par avance
Paul
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Réponses
Si ton calcul est numérique, on n’a rien inventé de mieux que de calculer le polynôme caractéristique. Si ton calcul est littéral, tu es mal. Le cas général est particulièrement pénible, mais faisable (en cinq jours de travail). Bref calcule. Tu as aussi le droit d’utiliser des simplifications si tu en vois dans le calcul du déterminant.
Merci
Mais est-ce simple ensuite de calculer ce $\max$ en fonction des coefficients de $A$ ? Je n'en sais rien...
Le calcul de mon déterminant (calcul aux valeurs propres) revient à résoudre un polynôme de degré 3 ; pas du tout familier de la chose, je regarde actuellement du côté des méthodes de Tschirnhauss, Lagrange, etc.
Pour autant je me pose la question suivante : à partir de la matrice $A$, il doit être possible de dire si mes racines sont toutes réelles non ? genre $\det(A) > 0$ ? ou est-ce une propriété de la symétrie de $A$ ?
Merci.
Paul
Je ne crois pas que ce soit une bonne idée de prendre la matrice symétrique la plus générale et de la diagonaliser à la main mais chacun s'amuse comme il veut.
C'est toujours le cas pour une matrice symétrique réelle : on sait depuis 175 ans, grâce à Kummer, que le discriminant pour une telle matrice est une somme de carrés de polynômes en les coefficients de la matrice. On connaît une représentation explicite, que je peux donner. Mais ce n'est pas très instructif.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Bonne idée ou pas, c'est aujourd'hui mon besoin ; fort heureusement le fait que les solutions soient obligatoirement réelles me simplifie un peu la tâche ; les formules des racines pour la forme généralisées sont accessibles sur la toile.
Merci à vous.
Paul
Déjà, il y a aura probablement des formules qui ne seront valables que sous certaine conditions, du style "si un machin est non nul, alors c'est telle formule qui s'applique", ou "si truc est nul, alors c'est telle autre".
Mais le plus emmerdant sera évidemment la factorisation exacte d'un polynôme de degré $3$. Les formules de Cardan sont bien jolies, mais elles donnent souvent des sommes de racines cubiques complexes alors que les racines sont réelles....En tout cas, si on veut des choses en fonction des coefficients du polynôme caractéristique, et donc de la matrice $M$, et de radicaux. Sinon, on peut y arriver avec des fonctions trigo, mais on va se taper des cosinus d'arcosinus...
Sans parler de la mocheté des formules....
Mel.
Je suis dans un contexte particulier, et pour ce cas très spécifique, le solveur ne le calcule pas (d'où ce travail pénible mais des plus enrichissants).
Merci à tous
Paul
PS. Suivant le genre de questions que tu te poses réellement, il peut y avoir des réponses efficaces qui ne passent pas forcément par le calcul explicite des valeurs propres. Par exemple, les signes des valeurs propres, on y a accès sans les calculer.
Cela fonctionne très bien sur des matrices 2x2, maintenant j'augmente la difficulté
Paul
un juste retour des choses ; grâce au site de Serge Mehl ici, j'arrive à mes fins
Au passage, j'ai découvert que taper $(-27)^{\frac{1}{3}}$ sous Scilab donnait un résultat singulier :-D
J'imagine que le cas où il n'existe qu'une seule solution réelle, c'est-à-dire $\Delta > 0$ est à exclure, ce qui impliquerait que la matrice n'est pas (de fait) diagonalisable.
Paul