Diagonalisation de matrice symétrique

Bonjour,

Si ton calcul est numérique, on n’a rien inventé de mieux que de calculer le polynôme caractéristique. Si ton calcul est littéral, tu es mal. Le cas général est particulièrement pénible, mais faisable (en cinq jours de travail). Bref calcule. Tu as aussi le droit d’utiliser des simplifications si tu en vois dans le calcul du déterminant.

Si je ne dis pas de bêtise, l'une des démonstrations utilise le fait que $X \mapsto {\,}^t\!XAX$ atteint son $\max$ sur la sphère unité. Puis que ce $\max$ est une valeur propre de $A$.
Mais est-ce simple ensuite de calculer ce $\max$ en fonction des coefficients de $A$ ? Je n'en sais rien...

Oui : du fait que $A$ est symétrique, elle a trois valeurs propres réelles (distinctes ou pas).

Je ne crois pas que ce soit une bonne idée de prendre la matrice symétrique la plus générale et de la diagonaliser à la main mais chacun s'amuse comme il veut.

Si le but est d'avoir une formule générale, du style $M=P^{-1}DM$, avec $P\in O_3(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale, où tous les coefficients de $P$ et $D$ sont explicites et écrits en fonction des coefficients de $M$, c'est une entreprise que je trouve assez vaine.

Déjà, il y a aura probablement des formules qui ne seront valables que sous certaine conditions, du style "si un machin est non nul, alors c'est telle formule qui s'applique", ou "si truc est nul, alors c'est telle autre".

Mais le plus emmerdant sera évidemment la factorisation exacte d'un polynôme de degré $3$. Les formules de Cardan sont bien jolies, mais elles donnent souvent des sommes de racines cubiques complexes alors que les racines sont réelles....En tout cas, si on veut des choses en fonction des coefficients du polynôme caractéristique, et donc de la matrice $M$, et de radicaux. Sinon, on peut y arriver avec des fonctions trigo, mais on va se taper des cosinus d'arcosinus...

Sans parler de la mocheté des formules....

Mel.

Peux-tu en dire plus sur le "contexte particulier" (à moins que ça ne soit top secret) ?

PS. Suivant le genre de questions que tu te poses réellement, il peut y avoir des réponses efficaces qui ne passent pas forcément par le calcul explicite des valeurs propres. Par exemple, les signes des valeurs propres, on y a accès sans les calculer.