Démontrer que deux suites convergent

dllkevin
dllkevin
dans Algèbre
Bonjour

On a $U_{0} = 1$ et $V_{0} = 2$
$U_{n+1} = \dfrac{U_{n}+V_{n}}{2}$ et $V_{n+1} = \sqrt{U_{n+1}V_{n}}$
1. Montrer que pour tout $n$ appartenant à $\N$ , $U_{n} <V_{n}$ (Résolu)
2. Étudier la monotonie de $U_{n}$ et $V_{n}$ (Résolu)
j'ai trouvé $U_{n}$ croissante et $V_{n}$ décroissante.
3. Justifier que les suites $U_{n}$ et $V_{n}$ convergent vers la même limite.

C'est ici que je bloque, je me disais que je devais calculer la limite de $V_n -U_n$ et ensuite conclure avec le théorème des suites adjacentes
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Notons $a$ et $b$ ces deux limites.
    Pour tout $n$ on a : $U_{n+1} = \frac{U_{n}+V_{n}}{2}$ donc à gauche, ça tend vers $a$ et à droite ?

    Cela a déjà été traité mais je ne te conseille pas d'aller chercher ailleurs pour le moment.
  • dllkevin
    dllkevin
    Dom
    Je n'ai pas compris , a c'est la limite de ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Eric
    Eric
    Quelle importance ?

    Tu donnes un nom à chaque limite et tu fais un passage à la limite dans la relation $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$ pour conclure.
  • dllkevin
    dllkevin
    Eric
    Donc soit $ a = \lim{U_{n}} $ et $ b = \lim{V_{n}} $ on a $ \lim{U_{n+1}} = \dfrac{a+b}{2} $ on a aussi $a = \dfrac{a+b}{2} $ donc $a = b$ donc les deux suites sont adjacentes ? C'est bien ça ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    J'oubliais : la méthode des suites adjacentes, je ne l'utilise pas ici.
    Onutilise l'inégalité pour démontrer que l'une des suites est croissante (resp. décroissante) majorée (resp. minorée).
    Oui, j'ai également choisi $a$ limite de $U$ et $b$ limite de $V$.

    Revenons à ce que tu dis : oui, on en déduit $a=b$.
    C'est donc ce qui est demandé.

    Tu ajoutes qu'alors les suites sont adjacentes, oui, c'est vrai, mais cet endroit c'est inutile je pense. Mais c'est vrai.
  • dllkevin
    dllkevin
    Dom
    Donc concernant l'inégalité pour démontrer que l'une des suites est croissante (resp. décroissante) majorée (resp. minorée).
    $U_{n} $ est croissante et $U_{0} = 1$ donc $ U_{n} $ converge vers un certain réel $\ell$ car $U_{0}<U_{n}$, c'est bien ça ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    Non.
    $(U_n)_n$ est croissante et est majorée par $V_0$.

    Tu as démontré la croissance dans une des questions.
    Tu as démontré l'inégalité (la majoration de $U$) dans une autre question.
  • dllkevin
    dllkevin
    Dom
    $(U_n)_n$ est croissante et est majorée par $V_0$ car $U_n < V_n $ ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    Tu dis avoir démontré $U$ croissante, c'est à dire : pour tout $n$ entier, $U_{n}\leq U_{n+1}$.
    Tu dis avoir démontré $V$ décroissante, c'est à dire : ...
    Tu dis avoir démontré $U\leq V$, c'est à dire : pour tout $n$ entier, $U_n\leq V_n$.

    Lorsque tu combines ces trois assertions, tu en déduis que $U$ est majorée par $V_0$.
  • dllkevin
    dllkevin
    Dom
    de même $V$ est minorée donc les suites sont adjacentes.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    Alors on a $U$ croissante majorée et $V$ décroissante minorée et $U\leq V$ mais cela ne suffit pas à dire que ces deux suites sont adjacentes.
    Il manque : $U-V$ converge vers $0$.

    Ici, c'est parce que l'on démontre que les suites convergent vers la même limite qu'on en déduit qu'elles sont adjacentes.
    Mais en général, c'est plutôt la réciproque qui est intéressante : "adjacentes donc même limite".
  • bisam
    bisam
    Ce que Dom essaie de te faire comprendre, dllkevin, c'est que dans le cas de cet exercice, on ne se sert pas du théorème des suites adjacentes.
    On démontre d'abord que les deux suites possèdent une limite, puis on démontre que ces deux limites sont égales.

    On peut en déduire que les suites sont adjacentes... mais ce n'est pas utile.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 8

8 Invités