Inverse d'un côté = inverse tout court?

Boole et Bill · September 2018

Bonjour,
Presque tout est dans le titre, si j'ai un ensemble $X$ muni d'une loi associative $\cdot$ qui possède un élément neutre $e$, et que j'ai un inverse à gauche $b$ d'un élément $a$ par exemple, est-ce un inverse à droite? Je pose la question car je pense que non, mais je ne trouve pas de contre-exemple, et je n'arrive pas à le montrer non plus.

nicolas.patrois · September 2018

Prends l’ensemble des applications sur les suites d’éléments de {0,1}.
Le décalage à gauche est inverse du décalage à droite mais…

Ça répond à ta question ?

Boole et Bill · September 2018

Merci, je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé, j'avais vu ça l'année dernière. Encore merci!

Poirot · September 2018

Un autre exemple classique, prendre l'opérateur de dérivation, et l'opérateur $f \mapsto (x \mapsto \int_0^x f(t) \,dt)$ sur l'espace $\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$.