Limite de fonction trigonométrique
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Je me permets de poser une question car je n’ai pas trouvé réponse à mon problème sur le net.
Ma question va paraître stupide mais voilà.
On me demande de calculer la limite, quand X tend vers pi/2 de tan(x) / tan(4x).
On regardant la limite droite et gauche, on voit que la réponse est moins l'infini.
Voilà ma question, existe-t-il une manière plus raffinée de prouver ce résultat ?
Hospital ? Transformation trigonométrique ? Cela fait 2 jours que je cherche alors si une bonne âme souhaitait m’aider. Ce serait avec un énorme plaisir.
Un grand merci d’avance.
Je me permets de poser une question car je n’ai pas trouvé réponse à mon problème sur le net.
Ma question va paraître stupide mais voilà.
On me demande de calculer la limite, quand X tend vers pi/2 de tan(x) / tan(4x).
On regardant la limite droite et gauche, on voit que la réponse est moins l'infini.
Voilà ma question, existe-t-il une manière plus raffinée de prouver ce résultat ?
Hospital ? Transformation trigonométrique ? Cela fait 2 jours que je cherche alors si une bonne âme souhaitait m’aider. Ce serait avec un énorme plaisir.
Un grand merci d’avance.
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Réponses
En posant $u= \tan^2 x$, on se ramène à étudier la limite en $+\infty$ de:
$\frac{1-6u+u^2}{4(1-u)}$. Or $\frac{1-6u+u^2}{4(1-u)} \sim_{+\infty} -\frac{u}{4}$, qui tend bien vers $-\infty$.
Sinon, voici un petit exercice sympathique:
1) Montrer par récurrence que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$:
$\tan (2nx) \sim_{\frac{\pi}{2}} -\frac{2n}{\tan x}$.
2) Application : Soit $n\in \mathbb{N}^*$.
Calculer la limite de $\frac{\tan x}{\tan 2nx}$ quand $x$ tend vers $\frac{\pi}{2}$.
L'Hôpital est à essayer.
Transformation trigonométrique avec duplication des angles : $\displaystyle \tan(2u) = {2 \tan u \over 1- \tan^2 u}$ lorsque ces quantités existent.
Développement limité avec $\displaystyle x={\pi \over 2} - \varepsilon.$