Limite de fonction trigonométrique

unélèvelambda · September 2018

Bonjour à tous,
Je me permets de poser une question car je n’ai pas trouvé réponse à mon problème sur le net.
Ma question va paraître stupide mais voilà.
On me demande de calculer la limite, quand X tend vers pi/2 de tan(x) / tan(4x).

On regardant la limite droite et gauche, on voit que la réponse est moins l'infini.

Voilà ma question, existe-t-il une manière plus raffinée de prouver ce résultat ?
Hospital ? Transformation trigonométrique ? Cela fait 2 jours que je cherche alors si une bonne âme souhaitait m’aider. Ce serait avec un énorme plaisir.
Un grand merci d’avance.

Amathoué · September 2018

Bonsoir,

En posant $u= \tan^2 x$, on se ramène à étudier la limite en $+\infty$ de:
$\frac{1-6u+u^2}{4(1-u)}$. Or $\frac{1-6u+u^2}{4(1-u)} \sim_{+\infty} -\frac{u}{4}$, qui tend bien vers $-\infty$.

Sinon, voici un petit exercice sympathique:

1) Montrer par récurrence que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$:
$\tan (2nx) \sim_{\frac{\pi}{2}} -\frac{2n}{\tan x}$.
2) Application : Soit $n\in \mathbb{N}^*$.
Calculer la limite de $\frac{\tan x}{\tan 2nx}$ quand $x$ tend vers $\frac{\pi}{2}$.

YvesM · September 2018

Bonjour,

L'Hôpital est à essayer.
Transformation trigonométrique avec duplication des angles : $\displaystyle \tan(2u) = {2 \tan u \over 1- \tan^2 u}$ lorsque ces quantités existent.
Développement limité avec $\displaystyle x={\pi \over 2} - \varepsilon.$

Limite de fonction trigonométrique

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