A propos de $Z(G) = 1$ et $\text{Out}(G) = 1$

$\def\Out{\text{Out}}\def\Int{\text{Int}}\def\Aut{\text{Aut}}$Soit $G$ un groupe de centre trivial (en abrégé $Z(G) = 1$) et tel que tout automorphisme de $G$ soit intérieur (en abrégé $\Out(G) = 1$). En conséquence, le morphisme $G \to \Aut(G)$ défini par $g \mapsto \Int_g = g \bullet g^{-1}$ est un isomorphisme. On peut donner comme exemple le groupe symétrique $S_n$ pour $n \ge 4$ et $n \ne 6$ mais ce n'est pas l'exemple qui me tient à coeur en ce début de semaine.

Pour ceux que cela intéresse. Il s'agit de se convaincre du résultat suivant. Soit un plongement $G \hookrightarrow G'$, que l'on assimile à une inclusion, tel que $G$ soit normal dans $G'$. Alors de manière naturelle, il y a un sous-groupe $K$ de $G'$, normal dans $G'$, tel que $G' = K\cdot G$ et $K \cap G = \{1\}$. Si bien que $G'$ s'identifie, de manière canonique (c'est important, cette précision), au produit direct de $K$ et $G$.

La morale de l'histoire, pour un certain groupe auquel je pense ce Lundi, c'est qu'il y a peu d'espoir d'obtenir des informations sur $G$ en le réalisant de manière normale dans un sur-groupe.