Produit cartésien infini

Bonjour
Pourriez-vous me dire comment écrit-on et comment nomme-t-on les deux objets X et U suivant en français correct ?
Je suis un peu embêté car j'en ai besoin pour écrire en français correct le maximum de choses qui peuvent s'écrire en français correct pour la description de quelque chose dont le sujet n'a strictement rien à voir avec les mathématiques. Merci pour votre aide.

$A$ est un ensemble non vide et fini. $$U=\prod ^{\infty} A=A\times A \times A\times \cdots\times A \times \ldots$$ Je ne sais pas si la lettre infini est d'usage autorisé et je ne sais pas comment s'appelle l'ensemble $U$ en français correct.
$X\in U$ comment s'appelle $X$ (c'est un élément de $U$) en français correct.
Je ne peux pas l'appeler "mot" car le problème c'est qu'un mot possède une quantité finie de caractères tandis qu'ici $X$ en possède une infinité.