Exercice corps de fonctions algébriques
Bonjour
Dans un livre sur les corps de fonctions algébriques, il y a l'exercice suivant.
Soit $F/K$ un corps de fonctions de genre $g$, tel que tout élément de $F$ algébrique sur $K$ est dans $K$. Si $K$ est de caractéristique différente de $2$, il faut montrer l'équivalence entre a) $g=0$ et e) $\exists x,y \in F$ tels que $F=K(x,y)$ et $y^2=a x^2+b$ avec $a,b \in K^{\times}$.
Est-ce qu'il n'y a pas une petite erreur (sans importance) ? Dans le cas où $K=\C$ et $F=\C(X)$, il me semble que $F/K$ est de genre $0$ mais qu'il n'existe pas $x,y \in F$ tels que $F=K(x,y)$ et $y^2=a x^2+b$ avec $a,b \in \C^{\times}$.
Merci d'avance.
Dans un livre sur les corps de fonctions algébriques, il y a l'exercice suivant.
Soit $F/K$ un corps de fonctions de genre $g$, tel que tout élément de $F$ algébrique sur $K$ est dans $K$. Si $K$ est de caractéristique différente de $2$, il faut montrer l'équivalence entre a) $g=0$ et e) $\exists x,y \in F$ tels que $F=K(x,y)$ et $y^2=a x^2+b$ avec $a,b \in K^{\times}$.
Est-ce qu'il n'y a pas une petite erreur (sans importance) ? Dans le cas où $K=\C$ et $F=\C(X)$, il me semble que $F/K$ est de genre $0$ mais qu'il n'existe pas $x,y \in F$ tels que $F=K(x,y)$ et $y^2=a x^2+b$ avec $a,b \in \C^{\times}$.
Merci d'avance.
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