Bonsoir
J'ai une question qui me tracasse depuis quelques jours, je ne sais pas comment obtenir l'endomorphisme d'une matrice si cette dernière m'est donnée.
Je n'ai pas trouvé d'exemple pardon, mais j'ai vraiment besoin d'une réponse ! Aidez-moi s'il vous plaît !! :-S
Réponses
Travaillons un peu dans le sens inverse : on se donne une application linéaire $L : E \longrightarrow F$ entre deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions respectives $m$ et $n$. $L$ est entièrement déterminée par l'image d'une base (c'est une propriété fondamentale des applications linéaires). Si je me donne une base $(e_1 ,..., e_m)$ de $E$, $L$ va être entièrement déterminée par les images $L(e_1), ..., L(e_n)$. Si je me donne ensuite une base $f_1 ,..., f_n$ de $F$, je peux décomposer les $L(e_k)$ dans cette base.
La matrice de $L$ dans les bases $(e_1 ,..., e_m)$ et $(f_1 ,..., f_n)$, c'est quoi ? Ben la $k$-ième colonne de cette matrice, c'est les coordonnées de $L(e_k)$ dans $(f_1 ,..., f_n)$, autrement dit, le coefficient à la $l$-ième ligne et la $k$-ième colonne de cette matrice, c'est le coefficient devant $f_l$ dans la décomposition de $L(e_k)$ dans la base $(f_1 ,..., f_n)$.
Du coup, pour associer une application linéaire $L : E \longrightarrow F$ à une matrice qui t'est donnée, il faut choisir dans quelles bases de $E$ et $F$ cette matrice décrit ton application linéaire : c'est pour ça qu'il y a une infinité d'applications linéaires "définissables" par une seule matrice.
Donc on a une matrice $A$ de taille $n \times n$. Ben... l'endomorphisme "le plus naturel" qu'on peut lui associer c'est $L : E \longrightarrow E$, $x \longmapsto AX$ où $X$ est la matrice-colonne des coordonnées de $x$ dans la base canonique.
Si je prends $E = \mathbb{R}^3$ et $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ par exemple, ça va nous donner l'application :
$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_1 + x_3 \\ x_2 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix}$
Donc si je comprends bien, il n'y a pas de véritable façon concrète pour déterminer un endomorphisme associé, mais je pousse ma réflexion un peu plus loin, et si ce n'était pas une base canonique?
on dispose d'une matrice $M$. On veut lui associer une application linéaire, donc si $M$ est de format $l \times k$, on va pouvoir lui associer une application linéaire $L : \mathbb{K}^k \longrightarrow \mathbb{K}^l$ (ou de n'importe quel $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension $k$ vers n'importe quel $\mathbb{K}$-espace vectoriel $F$ de dimension $l$) en choisissant des bases de ces deux espaces, et en déclarant "$M$ est la matrice de $L$ dans ces bases".
Ce qu'il faut comprendre, dans le fond, c'est que même si les matrices, et le calcul matriciel, ont une "existence propre" sans qu'on ait besoin de parler de bases, une matrice ne représente une application linéaire que par l'intermédiaire du choix de deux bases.
On choisit une base $e$ de $E$, une base $f$ de $F$, et l'égalité $y = L(x)$ va s'écrire :
$\text{Mat}_f (y) = \text{Mat}_{e,f}(L) \times \text{Mat}_e(x)$
Le seul "point délicat" c'est qu'on donne souvent un vecteur comme un tuple, par exemple $y = (y_1 ,..., y_l)$, ce qui sous-entend déjà le choix d'une base, en fait. L'écriture de $y$ comme un $l$-uplet, c'est quoi ? On identifie $y$ à ses coordonnées. Mais les coordonnées se rapportent à quoi ?
Ben à une base.
Le fait qu'on identifie très souvent un vecteur par sa décomposition dans la base canonique, sans le préciser à chaque fois, est censé être assez naturel mais ça peut être perturbant. Si tu as déjà vu une "application linéaire définie par une matrice" sous la forme $x \longrightarrow Ax$, ça constitue déjà un abus de notation ! L'abus consiste à identifier $x$ à son tuple de coordonnées dans la base canonique, donc à gauche de la flèche, $x$ désigne un objet très précis, et à droite de la flèche, il désigne en fait une matrice (qui pourrait être la matrice de n'importe quel vecteur dans n'importe quelle autre base, mais justement, on sous-entend qu'on pense toujours à la base canonique)
On peut très bien parler de coordonnées en dehors du contexte vectoriel, et donc sans parler de base. On a des coordonnées dès qu’on a un produit cartésien. En particulier, si les facteurs sont tous un même corps $\mathbb{K}$, on peut munir le produit d’une structure d’espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ assez naturellement. On appelle alors base canonique du produit la base dans laquelle les coordonnées d’un vecteur sont ses coordonnées en tant qu’élément du produit cartésien.