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Frattini de $\R$

Envoyé par hicham  
Frattini de $\R$
il y a huit mois
Salut à tous,

la lecture de l'excellent livre d'Alain Debreil sur les groupes finis et les treillis de leurs sous-groupes m'a fait découvrir les sous-groupes de Frattini. Je sais que c'est un peu hors sujet, mais je me suis demandé quel était le Frattini de $\R$. Merci à un expert de valider mon raisonnement : si $G$ est un sous-groupe maximal de $\R$, il est divisible (on le voit en considérant $\frac{1}{q}G$ qui contient $G$) et c'est donc un $\Q$-sev de $\R$. Comme $G$ est maximal, c'est aussi un hyperplan et c'est contradictoire car, si $G\oplus vect(x)=\R$, alors $G$ est strictement inclus dans $G+x\Z$.

Si $\R$ n'a pas de sous-groupe maximal, c'est donc que son Frattini est $\R$ entier.

J'ai bon, m'sieu ?

Cdlt, Hicham
Re: Frattini de $\R$
il y a huit mois
Il faudrait quand même justifier que $G + x\mathbb Z$ n’est pas $\mathbb R$ tout entier, sans quoi ton raisonnement final s’appliquerait à n’importe quel sous-groupe propre d’un groupe abélien !
Re: Frattini de $\R$
il y a huit mois
@Poirot : ça me semble clair puisque $G$ est un hyperplan du $\mathbb Q$-espace vectoriel $\mathbb R$ et que $x\not\in G$ (Hicham a bien expliqué tout ça). Pas à toi ? C'est vrai pour n'importe quel hyperplan d'un $\mathbb Q$-espace vectoriel.
Re: Frattini de $\R$
il y a huit mois
C’est clair pour moi aussi, je disais simplement qu’une petite phrase pour le dire aurait été la bienvenue smiling smiley
Re: Frattini de $\R$
il y a huit mois
De manière générale, pour un groupe abélien $G$, on a l'équivalence: $\Phi(G)=G\iff G$ est divisible.

Et comme $\mathbb{R}$ est abélien divisible, le résultat démontré par hicham n'est pas surprenant.

Mel.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par melpomène.
Re: Frattini de $\R$
il y a sept mois
Merci à ceux qui m'ont répondu !

" le résultat démontré par hicham n'est pas surprenant. " : oui, c'était une simple question que je m'étais posée mais je n'avais pas pensé à regarder si la réciproque est vraie. On vient de me faire savoir (hors forum) que la question du Frattini de $\R$ a été posée à l'oral de Normale Sup' Lyon récemment. C'est au programme des taupins, ça ?

Cdlt, Hicham
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