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Valeurs propres d'une matrice compliquée

Envoyé par Lotfi 
Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Bonjour,

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, et tout $q=(q_1,q_2)\in\mathbb{R}^2$ on considère la matrice

$$\begin{pmatrix}
2|q|^{2n}+14nq_1^2|q|^{2(n-1)}+8n(n-1)q_1^4|q|^{2(n-2)}&4nq_1q_2|q|^{2(n-1)}+8n(n-1)q_1^3q_2|q|^{2(n-2)}\\4nq_1q_2|q|^{2(n-1)}+8n(n-1)q_1^3q_2|q|^{2(n-2)}&2nq_1^2|q|^{2(n-1)}+8n(n-1)q_1^2q_2^2|q|^{2(n-2)}
\end{pmatrix}$$
où $|q|=\sqrt{q_1^2+q_2^2}$

Je veux déterminer les valeurs propres réelles de cette matrice. Merci bien de m'aider



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Mais elle sort d'où cette matrice drinking smiley

Remarque : elle est moche, mais elle est symétrique réelle. Donc on sait au moins qu'elle est diagonalisable dans une base orthonormée et que ses valeurs propres sont réelles.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
C'est la matrice Hessienne du polynôme $q_1^2(q_1^2+q_2^2)^n$. J'ai besoin des formules exactes des valeurs propres pour comparer
la valeur propre positive avec - la valeur propre négative dans un domaine donné.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
avatar
Pardon mais... c'est une matrice 2x2, ne s'agit-il pas de calculer les racines d'un polynôme du second degré ?
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Oui mais à chaque fois je trouve des expressions différentes pouvez vous écrire ce que vous avez trouver? merci
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
avatar
Le mieux c'est peut-être d'écrire ces formules dans un cas général, ie pour une matrice symétrique quelconque, et de remplacer.
Tu y gagnerais aussi peut-être à passer en coordonnées polaires.
La formule n'est pas compliquée à obtenir, mais tu as trop de notations : indices, barres verticales etc.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
J'ai changé les notations parce que je les trouvais trop lourdes, moi aussi. J'ai refait les calculs moi-même, et j'ai revérifié avec Wolfram Alpha donc je suis confiant qu'ils sont corrects. J'ai l'impression d'avoir une autre matrice hessienne que toi.

$f(x,y) = x^2(x^2 + y^2)^n$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x(x^2 + y^2)^{n-1}[(n+1)x^2 + y^2]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 2nx^2y(x^2 + y^2)^{n-1}$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) = (x^2 + y^2)^{n-2}[(4n^2 + 6n + 2)x^4 + (10n + 4)x^2y^2 + 2y^4]$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x,y) = 4nxy(x^2 + y^2)^{n-2}(nx^2 + y)$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) = 2nx^2(x^2 + y^2)^{n-2}[x^2 + (2n-1)y^2]$

Donc :

$\text{Hess}_{(x,y)} f = \begin{pmatrix} (x^2 + y^2)^{n-2}[(4n^2 + 6n + 2)x^4 + (10n + 4)x^2y^2 + 2y^4] & 4nxy(x^2 + y^2)^{n-2}(nx^2 + y) \\ 4nxy(x^2 + y^2)^{n-2}(nx^2 + y) & 2nx^2(x^2 + y^2)^{n-2}[x^2 + (2n-1)y^2] \end{pmatrix}$

$= 2(x^2 + y^2)^{n-2} \begin{pmatrix} [(2n^2 + 3n + 1)x^4 + (5n + 2)x^2y^2 + y^4] & 2nxy(nx^2 + y) \\ 2nxy(nx^2 + y) & nx^2[x^2 + (2n-1)y^2] \end{pmatrix}$

Soit $P_{(x,y)}(U) = \det(\text{Hess}_{(x,y)} f - U\text{Id})$ le polynôme caractéristique de $U$.

On va voir si on trouve quelque chose à partir de ça, je le poste déjà pour permettre aux autres de vérifier ce que j'ai dit, corriger éventuellement et réfléchir en même temps.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Donc ma hessienne est fausse, prière de m'aider à continuer, merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Je suis en train de me demander si on ne va pas pouvoir démontrer (à partir de la formule que j'ai donnée pour la hessienne) que cette matrice ne peut pas être définie-positive : ça imposera qu'une de ses valeurs propres est négative ou nulle. Ensuite, en regardant son polynôme caractéristique, on pourra regarder si on peut exclure le cas de la valeur propre nulle.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
ça sera parfait si on a qu'une valeur propre négative ou nulle pour tout $q\in\mathbb{R}^2$ ce cas me gène pas.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Lotfi.
P.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Moi, Mathematica alpha me donne une matrice hessienne que je n'ecris pas et qui n'est pas celle d'Homo Topi, mais dont il faut retenir qu'elle est de trace positive. Mathematica me donne son determinant


$$4n(2n+1) x^2(x^2+y^2)^{2n-1}((n+1) x^2-y^2).$$ En d'autres termes la hessienne est define positive si et seulement si $y^2< (n+1 )x^2)$ cad si et seulement si $(x,y)$ est dans un certain losange (prive de $(0,0)$)



Edit: mal recopie Mathematica, corrige, merci claude.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par P..
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Je propose qu'on se simplifie la vie avec les coefficients :

On va noter $M$ la matrice hessienne.

$M = \begin{pmatrix} Ax^4 + Bx^2y^2 + Cy^4 & Dx^3 + Exy^3 \\ Dx^3 + Exy^3 & Fx^4y + Gx^2y^3 \end{pmatrix}$

Et je préfère garder $(x,y)$ au lieu de $(q_1, q_2)$, ça fait moins de symboles.

Là c'est déjà un peu plus regardable, et on verra bien si c'est défini-positif ou non.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Homo Topi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
P. Un exposant $2(n-1)$ sur $x^2 + y^2$ i.e. $(x^2 + y^2)^{2(n-1)}$ au lieu de $(x^2 + y^2)^n$. Sinon pareil pour le reste.

> Z := IntegerRing();
> A2<x,y> := AffineSpace(Z,2) ;                                                         
> s := x^2 + y^2 ;
> Det := Determinant ;                                                                  
> Hessien := func < n | Det(HessianMatrix(Scheme(A2, x^2 * s^n))) > ;                   
> [Hessien(n) eq 4 * n * (2*n+1) * x^2 * s^(2*(n-1)) * ((n+1)*x^2 - y^2) : n in [2..10]] ;
[ true, true, true, true, true, true, true, true, true ]

Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
je m'étais effectivement trompé au niveau de $\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2}$, j'ai rectifié partout. Je vais voir si j'ai fait d'autres erreurs. il était juste, mon coef

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Homo Topi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@claude quitté, je n'ai pas compris ce que vous avez écrit.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Homo Topoi
Il y en a une autre dans $\partial^2 f/\partial y^2$, un $y$ en trop. C'est dangereux de reporter. Ne rapportez pas, donnez du vrai.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@Lofti
Par sécurité, je ne recopie pas (c'est un principe, je connais un peu cela). Avec $s = x^2 + y^2$, voici le déterminant de la matrice :

4 * n * (2*n+1) * x^2 * s^(2*(n-1)) * ((n+1)*x^2 - y^2)
Clair ?
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Oui je viens de voir et j'ai corrigé

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@claude quitté, donc vous avez vérifié que la matrice que j'ai écrite est bien la hessienne de $x^2(x^2+y^2)^n$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
avatar
Lofti, en dehors des calculs (c'est à toi de les faire et/ou de faire confiance aux logiciels de calcul), comprends-tu pourquoi on parle de déterminant ?
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
oui pour savoir qu'on la matrice est définie positive mais je suis confondue après ces résultats
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@Lofti
NON, je n'ai pas vérifié ta matrice et je ne veux pas le faire. Par contre, je sécurise ce que je produis. Pas de report MANUEL en TeX. Tu vas faire un effort pour comprendre

F := x^2 * s^n where s is x^2 + y^2 ;
assert D(D(F,x),x) eq s^(n-2) * (2*(n+1)*(2*n+1)*x^4  +  2*(5*n+2)*x^2*y^2 + 2*y^4) ;
assert D(D(F,x),y) eq 4*n * x*y * s^(n-2) * (n*x^2 + y^2) ;
assert D(D(F,y),y) eq 2*n*x^2 * s^(n-2) * (x^2 + (2*n-1)*y^2) ;
Clair ?
De ta part : mauvaise idée de noter tes indéterminées $q_1, q_2$. Pourquoi à ton avis ? H.T a rectifié le tir. Autre mauvaise idée : parler de $|q| = \sqrt {q_1^2 + q_2^2}$ qui interviendra avec une puissance paire. Tu trouves peut-être que ce n'est pas assez compliqué et que c'est une bonne chose de mettre des bâtons dans les roues ?
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@Lofti
Plusieurs personnes t'ont fourni de l'aide (suite à ta demande, à plusieurs reprises du style ``prière de m'aider, merci'' ..etc..). C'est si compliqué d'avoir un retour ? Plus compliqué que ta matrice que tu qualifies de compliquée ?
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Voila j'ai trouvé cette Hessienne

$$2|q|^{2(n-2)}\begin{pmatrix}
|q|^{4}+5nq_1^2|q|^{2}+2n(n-1)q_1^4& 2nq_1q_2|q|^{2}+2n(n-1)q_1^3q_2 \\2nq_1q_2|q|^{2}+2n(n-1)q_1^3q_2&nq_1^2|q|^{2}+2n(n-1)q_1^2q_2^2
\end{pmatrix}~.$$
qui n'est pas égale à celle de Homo Topi.

@claude quitté, je n'ai pas compris ce que vous avez écritsad smileysad smiley
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
On te donne des conseils, pour de bonnes raisons, et tu ne les écoutes pas. Crapul, puis moi, puis claude quitté t'avons dit de prendre des notations moins lourdes (de 1 parce que ça n'aide pas à la lisibilité, de 2 parce que ça fait souvent faire des erreurs), P. a directement pris mes notations au lieu des tiennes parce qu'elles sont juste plus naturelles et que tout le monde fait du calcul diff avec $x$, $y$, $z$ etc. Toi, tu persistes encore, et encore, et encore, à utiliser tes notations dont on te DIT qu'elles sont mauvaises. La preuve, nous on arrive à quelques résultats, toi tu patauges encore parce que tu n'es pas sûr de tes calculs... ce qui est normal avec tes notations.

Ma hessienne à moi est correcte. Je l'ai vérifiée 15 fois. Essaie de travailler avec les notations en $x$, $y$ que j'ai proposées, tu verras, ça sera plus simple. Abandonne aussi ta notation $|.|$, du moins pour l'instant. Si dans ton travail, tu dois utiliser $(q_1 , q_2 )$, tu peux toujours les réintroduire après. Mais pour le calcul de la hessienne, et de manière générale tout ce qui est calcul diff, les notations de calcul diff sont déjà très lourdes, alors ne les alourdis pas encore plus, c'est contre-productif et ça crée plus d'embrouilles que ça n'en enlève.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
En tout cas, avec ma hessienne et mes notations, je trouve le polynôme caractéristique :

$P_{x,y}(U) = 4(x^2 + y^2)^{2(n-2)}[[(2n^2 + 3n + 1)x^4 + (5n+2)x^2y^2 + y^4][nx^2(x^2 + 2(n-1)y^2)]U^2 - [2nxy(nx^2 + y^2)]^2]$

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Homo Topi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@Homo Topi ,
Je m’excuse, quand j'ai développé j'ai retrouvé ton résultat.

@tous, merci pour vos conseils.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Bon, maintenant qu'on en est là, ben, le polynôme caractéristique, va falloir le simplifier et donner des formules pour ses racines. Formules qui dépendront évidemment de $x$ et de $y$. Ça sent la recherche d'extrema, pour trouver pour quels $(x,y)$ on a quelles configurations des racines.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Homo Topi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
En utilisant mes notations, après faire les calculs avec $x,y$, les valeurs propres de moins la Hessienne (pour n=1) sont:

$\lambda_1=-\Big(|q|^2+6q_1^2+\sqrt{(|q|^2+6q_1^2)^2-4\Big(q_1^2(|q|^2+5q_1^2)-4q_1^2q_2^2\Big)}\Big)\le 0$ pour tout $q\in\mathbb{R}^2$

et

$\lambda_2=-\Big(|q|^2+6q_1^2-\sqrt{(|q|^2+6q_1^2)^2-4\Big(q_1^2(|q|^2+5q_1^2)-4q_1^2q_2^2\Big)}\Big)$

avec $\lambda_2$ est positive dans $\left\{q\in\mathbb{R}^2,\;3q_1^2-2q_2^2< 0\right\}$ et elle est négative dans $\left\{q\in\mathbb{R}^2,\;3q_1^2-2q_2^2> 0\right\}$



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Hello,
Bon allez, on se calme. Effectivement, H.T. pas d'erreur dans ta matrice hessienne. Et je crois, de manière erronée, avoir signalé une coquille. Mea culpa.

Mais la meilleure, c'est que la DERNIERE matrice hessienne fournie par Lofti est la même que celle fournie par H.T. Et la même que la mienne. Donc tout va bien dans le meilleur des mondes.

@Lofti : en notations $x, y$ à la place de $q_1, q_2$, je t'avais fourni les dérivées partielles en ``raw text'' (pour éviter les erreurs de recopies) sous la forme D(D(F,x),x) = truc-muche où $F = x^2 s^n $ et $s = x^2 + y^2$. C'est cela qui est difficile à comprendre ?
Bien sûr, dans TES affaires, on ne veut pas t'obliger à prendre nos notations $x,y$, tu peux garder $q_1, q_2$. On n'est pas des terroristes à ce point là. Mais lorsque tu communiques avec NOUS, en demande d'un coup de main, tu peux essayer de prendre des notations plus légères. Ainsi dans ton [www.les-mathematiques.net] tu continues à utiliser $|q| = \sqrt {q_1^2 + q_2^2}$ qui apparait avec un exposant pair. Si on remplace $|q|^2 $ par $q_1^2 + q_2^2$, on obtient parfois des expressions plus simples dans les coefficients de la matrice hessienne.

Note : d'autres posts de la part de Lofti pendant que je composais celui-là.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
J'avouerai avoir totalement eu la flemme de calculer les racines du polynôme caractéristique à la main, et même de les rentrer à la main dans un truc qui l'aurait fait à ma place grinning smiley. Si ses formules sont les bonnes, c'est bon.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
maintenant ma question est la suivante:

peut on trouver une constante $c>1$ assez large tel que

$-\lambda_1(x,y)\ge \lambda_2(x,y)$ pour tout $(x,y)\in\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;(2\left|x\right|)^{4/3}\left(\left(2x^2+y^2\right)^2+\left(xy\right)^2\right)^{\frac{2}{3}}\le c\left(2\sqrt{(y^2+6x^2)^2+x^4+2(2xy)^2}+2^{\frac{4}{3}}\left(\left(12\left|x\right|\right)^{\frac{1}{3}}+3\left(2\left|x\right|\right)^{\frac{1}{3}}+3\left(2\left|y\right|\right)^{\frac{1}{3}}+12^{1/4}+6\times2^{1/4}\right)^4\right)\right\}$

Merci.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
avatar
C'est ce qu'on appelle une goutte d'eau.
edit : pour synthétiser... la matrice hessienne en $(x_0,y_0)$ de la fonction $(x,y) \longmapsto x^2 (x^2+y^2)^n$ possède une valeur propre négative ou nulle si et seulement si $(n+1)x_0^2 \leqslant y_0 ^2$.
Dans tous les cas, la somme des deux valeurs propres (la trace de la hessienne) est positive.

Maintenant tu demandes une condition pour que $-\lambda_1(x,y)\ge \lambda_2(x,y)$...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Crapul.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
@Crapul, je travaille avec $-x^2(x^2+y^2)$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Depuis avant, tu nous fais travailler sur $x^2(x^2 +y^2)^n$, maintenant tu viens avec $-x^2(x^2 + y^2)$ sans prévenir... tu ne nous aides vraiment pas à t'aider !

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
lorsque j'ai donné les valeurs propres j'ai dit que n=1 et avant j'ai dit ''moins la hessienne'', je m'excuse si ça été non clair
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Ce que Crapul a dit s'applique très bien avec $n =1$. Le fait de prendre la matrice opposée ne change que le sens des inégalités qu'il a mentionnées. Donc il t'a donné ce qu'il faut, je pense.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
oui mais la somme des valeurs propres est négative donc j'ai demandé une condition est vraie
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
Si j'ai bien suivi ce que Crapul a montré/dit, la somme des valeurs propres de la hessienne est toujours positive : $\lambda_1 (x,y) + \lambda_2 (xy) \geqslant 0$. Donc si on prend l'opposé de la hessienne, ses valeurs propres sont les opposées de celles-là, donc : $- \lambda_1 (x,y) - \lambda_2 (xy) \leqslant 0$. Donc $\lambda_2 (x,y) \geqslant - \lambda_1 (x,y)$ pour tous $x$ et $y$.

La seule manière d'obtenir ce que tu veux, c'est d'avoir $\lambda_1 (x,y) = \lambda_2 (x,y)$.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
mais ce que j'ai noté moi $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont les valeurs propre de la hessienne de $-x^2(x^2+y^2)$

Donc attention ça ne revient pas à la même chose



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Lotfi.
Re: Valeurs propres d'une matrice compliquée
il y a deux années
avatar
La matrice hessienne de ta fonction (la dernière en date...) est de trace négative donc la somme des deux valeurs propres sera toujours négative.
Il y a forcément une valeur propre négative, par contre l'autre sera positive ou nulle si et seulement si $2x^2 \leqslant y^2$ (condition pour que le déterminant soit négatif).
Voilà. Je propose qu'on arrête là.
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