Valeurs propres d'une matrice compliquée

J'ai changé les notations parce que je les trouvais trop lourdes, moi aussi. J'ai refait les calculs moi-même, et j'ai revérifié avec Wolfram Alpha donc je suis confiant qu'ils sont corrects. J'ai l'impression d'avoir une autre matrice hessienne que toi.

$f(x,y) = x^2(x^2 + y^2)^n$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x(x^2 + y^2)^{n-1}[(n+1)x^2 + y^2]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 2nx^2y(x^2 + y^2)^{n-1}$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) = (x^2 + y^2)^{n-2}[(4n^2 + 6n + 2)x^4 + (10n + 4)x^2y^2 + 2y^4]$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x,y) = 4nxy(x^2 + y^2)^{n-2}(nx^2 + y)$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) = 2nx^2(x^2 + y^2)^{n-2}[x^2 + (2n-1)y^2]$

Donc :

$\text{Hess}_{(x,y)} f = \begin{pmatrix} (x^2 + y^2)^{n-2}[(4n^2 + 6n + 2)x^4 + (10n + 4)x^2y^2 + 2y^4] & 4nxy(x^2 + y^2)^{n-2}(nx^2 + y) \\ 4nxy(x^2 + y^2)^{n-2}(nx^2 + y) & 2nx^2(x^2 + y^2)^{n-2}[x^2 + (2n-1)y^2] \end{pmatrix}$

$= 2(x^2 + y^2)^{n-2} \begin{pmatrix} [(2n^2 + 3n + 1)x^4 + (5n + 2)x^2y^2 + y^4] & 2nxy(nx^2 + y) \\ 2nxy(nx^2 + y) & nx^2[x^2 + (2n-1)y^2] \end{pmatrix}$

Soit $P_{(x,y)}(U) = \det(\text{Hess}_{(x,y)} f - U\text{Id})$ le polynôme caractéristique de $U$.

On va voir si on trouve quelque chose à partir de ça, je le poste déjà pour permettre aux autres de vérifier ce que j'ai dit, corriger éventuellement et réfléchir en même temps.

Je suis en train de me demander si on ne va pas pouvoir démontrer (à partir de la formule que j'ai donnée pour la hessienne) que cette matrice ne peut pas être définie-positive : ça imposera qu'une de ses valeurs propres est négative ou nulle. Ensuite, en regardant son polynôme caractéristique, on pourra regarder si on peut exclure le cas de la valeur propre nulle.

Moi, Mathematica alpha me donne une matrice hessienne que je n'ecris pas et qui n'est pas celle d'Homo Topi, mais dont il faut retenir qu'elle est de trace positive. Mathematica me donne son determinant


$$4n(2n+1) x^2(x^2+y^2)^{2n-1}((n+1) x^2-y^2).$$ En d'autres termes la hessienne est define positive si et seulement si $y^2< (n+1 )x^2)$ cad si et seulement si $(x,y)$ est dans un certain losange (prive de $(0,0)$)



Edit: mal recopie Mathematica, corrige, merci claude.

P. Un exposant $2(n-1)$ sur $x^2 + y^2$ i.e. $(x^2 + y^2)^{2(n-1)}$ au lieu de $(x^2 + y^2)^n$. Sinon pareil pour le reste.

[color=#000000]
> Z := IntegerRing();
> A2<x,y> := AffineSpace(Z,2) ;                                                         
> s := x^2 + y^2 ;
> Det := Determinant ;                                                                  
> Hessien := func < n | Det(HessianMatrix(Scheme(A2, x^2 * s^n))) > ;                   
> [Hessien(n) eq 4 * n * (2*n+1) * x^2 * s^(2*(n-1)) * ((n+1)*x^2 - y^2) : n in [2..10]] ;
[ true, true, true, true, true, true, true, true, true ]
[/color]

@Lofti
Par sécurité, je ne recopie pas (c'est un principe, je connais un peu cela). Avec $s = x^2 + y^2$, voici le déterminant de la matrice :

[color=#000000]
4 * n * (2*n+1) * x^2 * s^(2*(n-1)) * ((n+1)*x^2 - y^2)
[/color]

Clair ?

@Lofti
Plusieurs personnes t'ont fourni de l'aide (suite à ta demande, à plusieurs reprises du style ``prière de m'aider, merci'' ..etc..). C'est si compliqué d'avoir un retour ? Plus compliqué que ta matrice que tu qualifies de compliquée ?

On te donne des conseils, pour de bonnes raisons, et tu ne les écoutes pas. Crapul, puis moi, puis claude quitté t'avons dit de prendre des notations moins lourdes (de 1 parce que ça n'aide pas à la lisibilité, de 2 parce que ça fait souvent faire des erreurs), P. a directement pris mes notations au lieu des tiennes parce qu'elles sont juste plus naturelles et que tout le monde fait du calcul diff avec $x$, $y$, $z$ etc. Toi, tu persistes encore, et encore, et encore, à utiliser tes notations dont on te DIT qu'elles sont mauvaises. La preuve, nous on arrive à quelques résultats, toi tu patauges encore parce que tu n'es pas sûr de tes calculs... ce qui est normal avec tes notations.

Ma hessienne à moi est correcte. Je l'ai vérifiée 15 fois. Essaie de travailler avec les notations en $x$, $y$ que j'ai proposées, tu verras, ça sera plus simple. Abandonne aussi ta notation $|.|$, du moins pour l'instant. Si dans ton travail, tu dois utiliser $(q_1 , q_2 )$, tu peux toujours les réintroduire après. Mais pour le calcul de la hessienne, et de manière générale tout ce qui est calcul diff, les notations de calcul diff sont déjà très lourdes, alors ne les alourdis pas encore plus, c'est contre-productif et ça crée plus d'embrouilles que ça n'en enlève.

J'avouerai avoir totalement eu la flemme de calculer les racines du polynôme caractéristique à la main, et même de les rentrer à la main dans un truc qui l'aurait fait à ma place :-D. Si ses formules sont les bonnes, c'est bon.

C'est ce qu'on appelle une goutte d'eau.
edit : pour synthétiser... la matrice hessienne en $(x_0,y_0)$ de la fonction $(x,y) \longmapsto x^2 (x^2+y^2)^n$ possède une valeur propre négative ou nulle si et seulement si $(n+1)x_0^2 \leqslant y_0 ^2$.
Dans tous les cas, la somme des deux valeurs propres (la trace de la hessienne) est positive.

Maintenant tu demandes une condition pour que $-\lambda_1(x,y)\ge \lambda_2(x,y)$...

Depuis avant, tu nous fais travailler sur $x^2(x^2 +y^2)^n$, maintenant tu viens avec $-x^2(x^2 + y^2)$ sans prévenir... tu ne nous aides vraiment pas à t'aider !

Ce que Crapul a dit s'applique très bien avec $n =1$. Le fait de prendre la matrice opposée ne change que le sens des inégalités qu'il a mentionnées. Donc il t'a donné ce qu'il faut, je pense.

Si j'ai bien suivi ce que Crapul a montré/dit, la somme des valeurs propres de la hessienne est toujours positive : $\lambda_1 (x,y) + \lambda_2 (xy) \geqslant 0$. Donc si on prend l'opposé de la hessienne, ses valeurs propres sont les opposées de celles-là, donc : $- \lambda_1 (x,y) - \lambda_2 (xy) \leqslant 0$. Donc $\lambda_2 (x,y) \geqslant - \lambda_1 (x,y)$ pour tous $x$ et $y$.

La seule manière d'obtenir ce que tu veux, c'est d'avoir $\lambda_1 (x,y) = \lambda_2 (x,y)$.

La matrice hessienne de ta fonction (la dernière en date...) est de trace négative donc la somme des deux valeurs propres sera toujours négative.
Il y a forcément une valeur propre négative, par contre l'autre sera positive ou nulle si et seulement si $2x^2 \leqslant y^2$ (condition pour que le déterminant soit négatif).
Voilà. Je propose qu'on arrête là.