Exercice Jacobson

Essentiellement, $(x^2+x)+(y^2+y)=(x+y)^2+(x+y)$, je pense.

Cdlt, Hicham

... car $x\mapsto x^p+x$ est un endomorphisme du groupe additif de $F$.

Le groupe additif d'un corps fini $\mathbf{F}_q$ de cardinal $q$ est en fait un espace vectoriel sur $\mathbf{F}_p$, où $p$ est le facteur premier de $q=p^d$. De plus, les endomorphismes de groupes sont automatiquement $\mathbf{F}_p$ linéaires. Et donc les endomorphismes sont décrits par les matrices $d\times d$ à coefficients dans $\mathbf{F}_p$.

Non

$\def\P{\mathbb P}$@Math Coss J'ai répondu non, sans plus, car la question (sic ?) n'est pas correctement formulée : pas de contexte, ...etc... De temps en temps, ce type d'imprécision totale me saoule.

Contexte : $K$ un corps, $X$ une variété définie sur $K$. Il faut pouvoir définir le corps des fonctions $K(X)$. Il faut donc imposer que $X$ soit irréductible, voire absolument irréductible (pense au statut de $X^2 + Y^2$ dans $\Q[X,Y]$ et dans $\Q(i)[X,Y]$). Je zappe là-dessus en imposant de plus $K$ algébriquement clos pour éviter les emm.rd.ments. Du côté de l'algèbre, en ce qui nous concerne ici, il faut spécifier $K$-morphisme et non morphisme. Et la question pourrait être : $K$-automorphismes de $K(X)$ versus automorphismes de la variété $X$. Je dis bien ``pourrait être'' car seul l'auteur de la question sait (re-sic) ce qu'il veut signifier.

1. Soit $X = \P^2$. Quid de $K(X)$ ? Des automorphismes de $\P^2$ ? Des $K$-automorphismes de $K(X)$ ?

2. A ce propos, il y a un terrain où il y a adéquation entre l'algèbre et la géométrie car la variété $X$ est ``ancrée'' dans $K(X)$ : c'est celui des courbes algébriques lisses, irréductibles et complètes. J'ai bien conscience que cette phrase contient peu d'informations. Ce n'est pas en pointant telle section de Hartshorne que le voile va se lever. Mais on pourrait apprendre des choses si on le voulait. Pointer la page de Serre (extraite de la version anglaise de Groupes algébriques et corps de classes) n'est pas une solution non plus. Et pourtant je le fais car en une page Serre dit ce qu'il pense de ``méthodes algébriques'' et ``méthodes géométriques'' concernant les courbes algébriques ...etc... Il dit aussi un mot de la dimension $\ge 2$.

3. C'est quoi la définition EXACTE d'un corps de fonctions algébriques ?

$\def\P{\mathbb P}\def\A{\mathbb A}\def\M{\mathbb M}$@Math Coss
Si j'ai posé la question 3. c'est simplement que le vocabulaire avait été utilisé. C'est une notion purement algébrique. Soit $k$ un ``petit corps de base''. Un corps de fonctions algébriques sur $k$, c'est simplement une $k$-extension $L/k$ de type fini. Qui possède donc une ``dimension'' (le degré de transcendance de $L/k$).

Autre chose. J'essaie d'illustrer un tout petit bout de ce que dit Serre en faisant simple (j'espère). Soit $X$ une courbe algébrique; on ne sait pas ce que c'est mais peu importe, on en a une idée (dimension 1). Et $p_0$ un point lisse de $X$ (pareil). Alors une fonction $X -\kern -2pt \to \P^1$, a priori non définie partout, est nécessairement définie en $p_0$. Maxime : il n'y a pas de forme indéterminée en un point lisse $p_0$ d'une courbe algébrique.

Au lieu d'illustrer ce fait, on va regarder ce qui se passe en dimension $> 1$. Je considère la sous-variété $X \subset \A^{2n}_{x_1, \cdots, x_n \atop y_1, \cdots, y_n} \simeq \M_{2,n}$ définie par les équations $x_iy_j = x_jy_i$ pour tous $1 \le i, j \le n$. I.e. par la nullité des mineurs de la matrice générique à gauche :
$$
\pmatrix {x_1 & \cdots & x_n\cr y_1 & \cdots & y_n\cr}, \qquad\qquad\qquad
p_0 = \pmatrix {0 & 0 & \cdots & 0 & 0\cr 1 & 0 & \cdots &0 & 1\cr}
$$
A droite, j'ai fait figurer un point de cette variété i.e. une matrice dont tous les mineurs d'ordre 2 sont nuls. Cette variété est absolument irréductible et de dimension $n+1$ mais on va zapper là-dessus (peut-être pas très pédagogique, mon truc).
Je considère enfin le morphisme (à droite un point de vue affine, première coordonnée divisée par seconde coordonnée, à valeurs dans $\A^1 \cup \{\infty \}$) :
$$
\pi : X \to \P^1, \qquad\qquad (x, y) \mapsto (x_1 + \cdots + x_{n-1} - x_n : y_1 + \cdots + y_{n-1} - y_n ) = {x_1 + \cdots + x_{n-1} - x_n \over y_1 + \cdots + y_{n-1} - y_n }
\qquad \qquad (\star)
$$
Problème : est ce que $\pi$ est défini en $p_0$ et si oui que vaut $\pi(p_0)$ ? Of course, si on remplace bêtement les $x_i,y_i$ par les valeurs, il y a un clash de type $(0 : 0)$ ou $0/0$. Plus complexe : où est ce que $\pi$ est défini ? Une petite illustration avec $n = 4$

[color=#000000]
> X ;
Scheme over Rational Field defined by
x3*y4 - x4*y3,   x2*y4 - x4*y2,
x2*y3 - x3*y2,   x1*y4 - x4*y1,
x1*y3 - x3*y1,   x1*y2 - x2*y1
> p0 ;
(0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)
> pi : Minimal ;
(x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4) -> (x1 + x2 + x3 - x4 : y1 + y2 + y3 - y4)
[/color]

Est ce que $\pi$ est défini en $p_0$ via brute force ?

[color=#000000]
> pi(p0) ;                        
>> pi(p0) ;
     ^
Runtime error in map application: Map not defined at this point
[/color]

Ce qu'il faut faire : c'est demander gentiment (c'est le Extend ci-dessous) au morphisme $\pi$ de déterminer là où il est défini. Figure toi que je ne suis pas clair là-dessus (en dimension quelconque). Il me semble, il y a longtemps, avoir étudié de manière algorithmique, si un morphisme était défini en un point. Mais ce n'est pas le même problème.

[color=#000000]
> pi := Extend(pi) ;
> pi(p0) ;          
(0 : 1)
> pi : Minimal ;    
(x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4) -> (x1 + x2 + x3 - x4 : y1 + y2 + y3 - y4)
Alternatives:
(x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4) -> (x4 : y4)
(x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4) -> (x3 : y3)
(x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4) -> (x2 : y2)
[/color]

Que s'est-il passé ? C'est que sur $X$, on a des formules alternatives pour $\pi$ :
$$
\pi = (x_1 : y_1) = (x_2 : y_2) = \cdots = (x_n : y_n) \qquad \qquad (\heartsuit)
$$
que l'on va utiliser pour lever l'apparente indétermination en $p_0$. En fait, je suis parti de $(\heartsuit)$ et j'ai fait le coup de l'école primaire ${a \over b} = {c \over d} \Rightarrow {a \over b} = {c \over d} = {a+c \over b+d}$ pour obtenir la forme compliquée en $(\star)$.

[color=#000000]
> pi eq map < X -> P1 | [x[1], y[1]] > ;
true
[/color]

On est soulagé : $\pi$ est défini en $p_0$. Mais est ce que $\pi$ est défini en l'origine $(0, \cdots, 0, 0, \cdots, 0)$ ? Niet. Où est ce que $\pi$ est défini : pas si simple.
Bref, du point de vue algorithmique, la détermination, en général, de l'ouvert de définition d'une fonction, c'est un peu complexe.

MAIS pour les courbes algébriques lisses complètes, la réponse est vachement simple : une fonction est définie PARTOUT. Avec un algorithme assez simple pour lever les apparentes indéterminations. Merci aux anneaux locaux qui sont des anneaux de valuation discrète et aux uniformisantes qui prennent tout ce binz en charge. Et c'est ce point capital qui fait qu'il y a adéquation entre algèbre et géométrie et fait dire à Serre ce qu'il dit si bien.