Polynôme et sous-espace vectoriel

Pour $u=id$, $P(u)= P(1)id$, donc ça fournit un contrexemple de plus

On se place ici en dimension finie.

Commençons sur $\mathbb C$.
Si on prend un polynôme $P\in \mathbb C[X]$ alors en utilisant le Lemme des noyaux et en décomposant $P$ sous la forme $P(X) = \displaystyle \prod_{i=1}^k (X-a_i)^{m_i}$, on obtient
$$\text{Ker}(P(u)) = \bigoplus_{i=1}^k \text{Ker}(u-a_i.\text{Id})^{m_i}$$
Cela restreint nettement les possibilités. D'abord, si un $a_i$ n'est pas une valeur propre de $u$ alors $\text{Ker}(u-a_i.\text{Id})^{m_i} = (0)$. Ainsi
$$\text{Ker}(P(u)) = \bigoplus_{a_i\text{ v.p. de }u} \text{Ker}(u-a_i.\text{Id})^{m_i}$$
et il ne nous reste comme possibilités que des combinaisons de sous-espaces du type $\text{Ker}(u-a_i.\text{Id})^{r_i}$ où $a_i$ est une valeur propre de $u$ et $r_i$ est compris entre 1 et la multiplicité de $a_i$ comme racine du polynôme minimal de $u$ (au-delà, la suite des noyaux itérés est stationnaire). On obtient clairement un nombre fini de possibilités...

Sur $\mathbb R$, ce ne sera guère mieux. Il faut juste ajouter des espaces du type $\text{Ker}(u^2-au+b\text{Id})^{r}$ avec $a^2-4b<0$ et là encore, une suite d'espaces de ce type est nécessairement stationnaire.

Bonsoir,
J'ai pour ma part effectué ces dénombrements:
Soit $\mathbb K$ un corps. Alors, $ \forall n\in \N^*,\: \forall u \in \mathcal L(\mathbb K^n)$:
$\text{Card} \Big\{\ker P(u)\: |\: P\in \mathbb K[X]\Big\} = \displaystyle{\prod_{i=1}^s (1+e_i)}$ où $\mu =\displaystyle {\prod_{i=1}^s P_i^{e_i}}$ est la décomposition en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb K[X]$ du polynôme minimal $\mu$ de $u$.
En notant, pour $n\in\N, \:n\geq 2$ et $q$ puissance d'un nombre premier, $\mathcal V(n,q)$ le nombre de sous-espaces de $\mathbb F_q^n$, il vient:
$\mathcal V(n,q)=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom nk _q=2+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{q^n-1}{q^k-1}\binom{n-1}{k-1}_q\geq 2+ (q^n-1)\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1{q^k-1}>2^n\geq \prod_{i=1}^{s}(1+e_i)=\text{Card} \left\{\ker P(u)| \in \mathbb F_q[X]\right\}}$
( $\displaystyle{\binom nk_q:=\prod _{i=1}^{k}\dfrac{q^{n-i+1}-1}{q^i -1}}$)
Ainsi, pour répondre à la question initiale: $\boxed{\forall n\geq 2,\:\forall u\in \mathcal L (\mathbb K^n), \text{il existe un sous-espace }V \text{ de } \mathbb K^n \text{ tel que:}\ \forall P\in \mathbb K[X],\;V\neq \ker P(u)}$.
P.S Comme le fait remarquer le post suivant de Melpomène, nul besoin de recourir à ces dénombrements pour établir ce que j'ai encadré.