Montrer que $IJ=I\cap J$ si $I+J=A$
dans Algèbre
Bonjour,
Je cherche à montrer que si $A$ est un anneau commutatif unitaire, $I,J$ sont des idéaux de $A$ tels que $I+J=A$, alors $IJ = I\cap J$. Je sais qu'on a toujours la première inclusion, mais l'autre me pose problème. À la vue des éléments de $I \cap J$ qui peuvent s'écrire comme combinaisons linéaires d'éléments de $I \cup J$, je suppose qu'il suffit de montrer que si $a \in A, x \in I \cup J$ sont tels que $ax \in I\cap J$, alors cet élément est combinaison linéaire de produit d'éléments de $I$ et $J$. Je pense aussi que je complique la chose mais je ne vois pas comment faire.
Merci de votre aide.
Je cherche à montrer que si $A$ est un anneau commutatif unitaire, $I,J$ sont des idéaux de $A$ tels que $I+J=A$, alors $IJ = I\cap J$. Je sais qu'on a toujours la première inclusion, mais l'autre me pose problème. À la vue des éléments de $I \cap J$ qui peuvent s'écrire comme combinaisons linéaires d'éléments de $I \cup J$, je suppose qu'il suffit de montrer que si $a \in A, x \in I \cup J$ sont tels que $ax \in I\cap J$, alors cet élément est combinaison linéaire de produit d'éléments de $I$ et $J$. Je pense aussi que je complique la chose mais je ne vois pas comment faire.
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Réponses
A partir de là, mon livre fait la démo en 2 lignes :-)
OK pour la suite : $xz\in IJ$ car $z\in J$ (et $x\in I$) et $zy\in IJ$ car $z\in I$ (et $y\in J$).
\[
\begin{array}{ccccc}
f & : & A/IJ & \to & A/I \times A/J \\
& & a+ IJ& \mapsto & (a+I,a+J) \\
\end{array}
\] L'injectivité est claire : le noyau est nul car $I\cap J = IJ$. C'est la surjectivité qui me donne du fil à retordre. Je précise que je n'ai pas envie de regarder la démonstration du théorème chinois, qui doit être un cas particulier de celui là? Avez-vous des conseils?
Merci.
Mieux : on peut essayer de défini un inverse. Clé : les coefficients de Bézout qui définissent des idempotents ($e$ est idempotent si $e^2=e$) ; une sorte de projecteur, quoi ; dans le lemme chinois, on tombe sur les idéaux $n\Z/mn\Z$ et $m\Z/mn\Z$. Ici, ce qui devrait en tenir lieu, ce sont le $x\in I$ et le $y\in J$ déjà évoqués tels que $x+y=1$. Pourquoi ? Parce que $x$ et $y$ sont idempotents modulo $IJ$. Tu vois comment poursuivre ?
J'ai commencé par trouver des antécédents à $(1+I,0+J)$ et $(0+I,1+J)$. Comme nous le disions, il existe deux éléments $x$ et $y$ respectivement dans $I$ et $J$ tels que $x+y=1$. On vérifie alors que $f(y+IJ)=(1+I,0+J)$ et que $f(x+IJ)=(0+I,1+J)$. De ceci on déduit que si $a,b \in A$, un antécédent (en fait l'antécédent) de $(a+I,b+J)$ par $f$ est $ya+xb+IJ$. Et voilà! :-)
(Comme tu l'auras constaté depuis, le fait que $x$ et $y$ sont idempotents modulo $IJ$ résulte de : $x^2=x-xy$ et $y^2=y-xy$.)