Système en xy et x+y
dans Algèbre
Bonjour, à plusieurs reprises j'ai rencontré des systèmes du type :
| xy = a
| x+y=c avec x y réels ou complexes
sans savoir comment m'y prendre pour les résoudre ... J'ai lu sur un autre forum qu'il fallait passer au carré la seconde ligne mais en faisant cela je me retrouve avec x² + y² = d et c'est encore moins pratique. Des méthodes / suggestions ?
| xy = a
| x+y=c avec x y réels ou complexes
sans savoir comment m'y prendre pour les résoudre ... J'ai lu sur un autre forum qu'il fallait passer au carré la seconde ligne mais en faisant cela je me retrouve avec x² + y² = d et c'est encore moins pratique. Des méthodes / suggestions ?
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Réponses
Voici l'énoncé me posant problème : On cherche à résoudre z² + (1-i$\sqrt[]{3}$)z - (1+i$\sqrt[]{3}$) = 0 .
La première partie propose d'exprimer les racines de ce polynôme en fonction de a = ($\sqrt[]{3}$ + i)/2 et de b = (-1+i$\sqrt[]{3}$)/2 .
En suivant la méthode de Math Coss mon problème revient à trouver les racines de z² - 2bz - 2a et pour cela il faut trouver les racines de $4(b²+2a) = 2(-1+2\sqrt[]{3}-i\sqrt[]{3}+i)$, je ne peux pas transformer ce complexe en une somme de complexe de module 1. Je suis sur qu'il y a une astuce simplifiant tout ça mais je ne la vois pas.
-- Schnoebelen, Philippe
Après re calcul le discriminant est en faite $2(-1+2\sqrt{3}-i\sqrt{3}+2i)$, si j'arrive à le mettre sous la forme d'une somme de deux complexes de module 1 je peux alors utiliser la formule du losange et mettre ce discriminant sous forme exponentielle, très pratique pour le calcul de ses racines.
-- Schnoebelen, Philippe
Entre nous, l'astuce du parallélogramme marche quand elle saute aux yeux, il ne faut pas en faire l'alpha et l'oméga de la résolution des équations de degré deux.
Edit : il y avait une erreur dans le discriminant ! Faute de frappe ou faute de calcul ?
Si oui, note que ce que GaBuZoMeu et moi avons proposé, c'était de revenir à l'équation de degré $2$, ce que tu as fait en fin de compte.
Je n'avais pas compris que vous parliez de ce trinôme, autant pour moi et merci pour votre aide !
En se rappelant des formules de Viète du polynôme quadratique, cela devrait suffire à te guider.
Peter