Système en xy et x+y

lucaslucas
lucaslucas
dans Algèbre
Bonjour, à plusieurs reprises j'ai rencontré des systèmes du type :

| xy = a
| x+y=c avec x y réels ou complexes

sans savoir comment m'y prendre pour les résoudre ... J'ai lu sur un autre forum qu'il fallait passer au carré la seconde ligne mais en faisant cela je me retrouve avec x² + y² = d et c'est encore moins pratique. Des méthodes / suggestions ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    On peut par exemple exprimer $y$ en fonction de $x$ dans la deuxième équation et reporter la valeur obtenue dans la première. Attention à la façon de rédiger pour procéder par équivalences.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $x$ et $y$ sont les deux racines de $T^2-cT+a$.
  • lucaslucas
    lucaslucas
    Merci pour vos réponses, malheureusement je reste toujours autant bloqué ...
    Voici l'énoncé me posant problème : On cherche à résoudre z² + (1-i$\sqrt[]{3}$)z - (1+i$\sqrt[]{3}$) = 0 .
    La première partie propose d'exprimer les racines de ce polynôme en fonction de a = ($\sqrt[]{3}$ + i)/2 et de b = (-1+i$\sqrt[]{3}$)/2 .
    En suivant la méthode de Math Coss mon problème revient à trouver les racines de z² - 2bz - 2a et pour cela il faut trouver les racines de $4(b²+2a) = 2(-1+2\sqrt[]{3}-i\sqrt[]{3}+i)$, je ne peux pas transformer ce complexe en une somme de complexe de module 1. Je suis sur qu'il y a une astuce simplifiant tout ça mais je ne la vois pas.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Développe le carré de a+bi (a et b réels) et identifie au discriminant.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne comprends pas pourquoi tu veux faire apparaître des sommes de complexes de module $1$ et je pense que tu t'es trompé en calculant le discriminant.
  • lucaslucas
    lucaslucas
    Développer $a+bi$ au carré me rammène au même problème qu'initialement : un système que je ne sais pas résoudre car il demande le calcul d'un discriminant trop compliqué pour moi.

    Après re calcul le discriminant est en faite $2(-1+2\sqrt{3}-i\sqrt{3}+2i)$, si j'arrive à le mettre sous la forme d'une somme de deux complexes de module 1 je peux alors utiliser la formule du losange et mettre ce discriminant sous forme exponentielle, très pratique pour le calcul de ses racines.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Tu identifies la partie réelle et la partie imaginaire (et n'oublie pas l'égalité des modules, ça aide).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    Après re-calcul, tu ne te serais pas re-trompé ? Je trouve $2+2\mathrm{i}\sqrt3$ qui est plus facile à traiter.

    Entre nous, l'astuce du parallélogramme marche quand elle saute aux yeux, il ne faut pas en faire l'alpha et l'oméga de la résolution des équations de degré deux.

    Edit : il y avait une erreur dans le discriminant ! Faute de frappe ou faute de calcul ?
  • lucaslucas
    lucaslucas
    Bonjour, j'ai finalement calculé directement les racines de l'équation initiale pour ensuite les exprimer en fonction de a et de b ce qui est beaucoup plus simple (le discriminant se met très bien sous forme exponentielle).
  • Math Coss
    Math Coss
    Ce que tu veux dire, c'est que l'énoncé proposait de résoudre l'équation de degré $2$ en faisant un détour par le système et que ça ne t'a pas semblé très efficace ?

    Si oui, note que ce que GaBuZoMeu et moi avons proposé, c'était de revenir à l'équation de degré $2$, ce que tu as fait en fin de compte.
  • lucaslucas
    lucaslucas
    L'énoncé ne proposait rien de particulier mais sa formulation m'a fait penser qu'il fallait résoudre un système alors que chercher directement les racines du trinôme était beaucoup plus rapide.

    Je n'avais pas compris que vous parliez de ce trinôme, autant pour moi et merci pour votre aide !
  • PeterPhi
    PeterPhi
    Bonjour

    En se rappelant des formules de Viète du polynôme quadratique, cela devrait suffire à te guider.

    Peter
  • Poirot
    Poirot
    Je pense que lucaslucas avait obtenu sa réponse... il y a deux mois !
  • PeterPhi
    PeterPhi
    Oui, tout-a-fait Poirot, j'avais répondu depuis mon tél portable et effectivement j'avais mal vu que tout avait dit avant. Dorénavant, je tâcherai d'être plus attentif !
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